TRIGONOMETRY FOR STATICSPART 2:
The Unit Circle and Visualizing Trigonometric Functions: The fundamental relation
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]suggests that the sine and cosine can be visualized by using a circle of unit radius. To do this, draw a circle of unit radius, as shown in the figure. Next draw a radial line from the center of the circle to the its arc and making a counter clockwise angle
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]with the horizontal axis as shown in the figure. The projection of this line onto the horizontal axis is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], the projection of this line onto the vertical axis is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], and if the radial line is extended to intersect the vertical line
AB one can get
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]as shown in the figure.
From the unit circle one immediately discovers that the sine and cosine functions can have values from -1 to 1, and that the tangent can have any value form
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]to
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
One denotes the
quadrants of the unit circle as shown in the figure. It can be seen that the sine has positive value in the first and second quadrants, and negative value in the third and fourth quadrants. The cosine has positive value in the first and fourth quadrant and negative value in the second and third quadrants. The tangent has positive value in the first and third quadrants and negative value in the second and fourth quadrants.
The unit circle can also help one memorize the values of the trigonometric functions. For example, at
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] At
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] At
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] At
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] Inverse of Trigonometric Functions: The inverse trigonometric functions are:
arcsine, arccosine, and arctangent. For a specific value
z, these are written as:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. For example, the function
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]provides the angles
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]that has
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. In a similar manner,
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and
, respectively, provide the angles for which
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
For example,
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]means
the angle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]for which the sine has a value of 0.5. Thus, one solution is
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Likewise,
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]has a solution
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
The inverse trigonometric functions are also written as sin
-1, cos
-1, and tan
-1. For example,
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]is the same as
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. This contradicts the convention established for positive exponents. Therefore, even though
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] The
inverse trigonometric functions are multi valued. For example, the angles
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]all satisfy the relation
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and are, therefore, the solutions to
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. This can clearly be seen on the unit circle since the projection of radial lines at 30
o and 150
o onto the vertical axis are the same.
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] On the unit circle the addition of 360
o to any angle results in a new radial line that falls on top of the original radial line. Therefore, the value of any trigonometric functions at an angle
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]is the same as its value at
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. This is also true for the addition of any integer multiple of 360
o so that, for example,
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]for any integer
n.
Law of Sines: The
law of sines states that
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] This can be shown by considering the triangles AXB and CXB in the following figure. We have
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], hence
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]or
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. In a similar manner one can show that
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Law of Cosines: The law of cosines states that
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] This can be shown by considering the triangle BXC that gives:
a
2 = p
2 + (CX )
2 = p
2 + (b - AX)
2 or a
2 = p
2 + b
2 + (AX)
2 - 2b(AX)
(1)Considering the triangle AXB one gets:
p
2 + (AX)
2 = c
2 and
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]Substituting these into
(1) one obtains:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] The other relations are obtained in a similar manner.
