الأعداد المركبه

عدد عقدي


من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة


اذهب إلى: تصفح, بحث

العدد العقدي أو العدد المركب هو أي عدد على الملف: حيث أن a و b هما عددان حقيقيان و i هو عدد تخيلي مربعه = -1. و يسمي العدد الحقيقي a بالجزء الحقيقي و العدد الحقيقي b بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد عقدي، فيه 3 هو الجزء الحقيقي، و 2 هو الجزء التخيلي.
الشكل العام للعدد المركب



و عندما يكون b (أي الجزء التخيلي) = 0، فإن قيمة العدد العقدي تساوي قيمة الجزء الحقيقي a فقط و سمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا Purely real. و عندما يكون a (أي الجزء الحقيقي) = 0، كان العدد تخيليـًا صرفـًا Purely imaginary.
من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد العقدية، كالجمع و الطرح و القسمة و الضرب، تمامًا كالأعداد الحقيقية، و لكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.
و أحيانـًا قد يكتب العدد العقدي z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، لأن i هو رمز التيار الكهربي)

محتويات [إخفاء] 1 التعريف 2 تمثيل الأعداد المركبة 2.1 التمثيل الجبري 2.2 التمثيل الهندسي 2.3 التمثيل الأسي 2.4 فهم الأعداد العقدية 3 الحساب في مجموعة الأعداد العقدية 3.1 الجمع 3.2 الضرب 3.3 الخارج 4 مرافق عدد عقدي 4.1 تعريف 4.2 الأعداد المترافقة و العمليات 5 معيار عدد عقدي 5.1 التمثيل الهندسي للأعداد العقدية 6 لحق نقطة 7 لحق متجهة 8 وصلات خارجية

//



[عدل] التعريف


العدد العقدي هو الذي يتكون من مجموع عددين، أحدهما عدد حقيقي والآخر عدد تخيلي، و يكون مربع العدد التخيلي عدد سالب.

[عدل] تمثيل الأعداد المركبة


إذا فرضنا أن z هو عدد مركب، و a و b هما عددان حقيقيان، و i هو عدد تخيلي، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:

[عدل] التمثيل الجبري


يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل:



[عدل] التمثيل الهندسي


يكتب العدد على شكل



[عدل] التمثيل الأسي


يكتب العدد على شكل


حيث




[عدل] فهم الأعداد العقدية


عند ما وجد الرياضيون أن المعادلة (x² = -1)مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من أن يوضع لها حلاً وبما أن الرياضيات هي -وكما يقول أحد الرياضيين- العلم الذي لا نعرف فيه إن كان ما نوله صحيح أم لا. لذلك تم إيجاد عدد جديد هو العدد (تاء - ت )بالعربية وبلاتينية العدد(i)وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد -1 .وهنا يكمن التعقيد فمن المعلوم انه ليس لعدد -1 جذر ولكن هذا في الأعداد الحقيقية فكما أنه لا وجود لعدد -5 في الأعداد الطبيعية ولكنه موجدود في الأعداد الصحيحة والحال نفسه بالنسبة لعدد i فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تضع للمنطق الرياضي لا تنافي المبادئ الرياضية والموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات

[عدل] الحساب في مجموعة الأعداد العقدية


نفس العمليات و القواعد الحسابية في يمكن تطبيقها على الاعداد العقدية. باستعمال تجميعية الجمع و توزيعية الضرب نحصل على ما يلي:

[عدل] الجمع


تتم عملية الجمع كما يلي:


[عدل] الضرب


تتم عملية الضرب كما يلي


[عدل] الخارج


تتم عملية القسمة كما يلي:


[عدل] مرافق عدد عقدي


التمثيل الهندسي للعدد المركب ومرافقه في المستوى المركب.




[عدل] تعريف


مرافق العدد العقدي هو العدد العقدي .
مرافق العدد العقدي z نرمز له ب:

[عدل] الأعداد المترافقة و العمليات

1. مرافق مجموع عددين عقديين هو مجموع مرافق كل من حدي المجموع
   
2. مرافق جداء عددين عقديين هو جداء مرافق كل من حدي الجداء
   

[عدل] معيار عدد عقدي


جدر مربع جداء عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي

[عدل] التمثيل الهندسي للأعداد العقدية



[عدل] لحق نقطة


تمثيل هندسي لعدد عقدي



المستوى منسوب لمعلم متعامد ممنظم مباشر ، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها من ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي يسمى 'لحق' النقطة M و يرمز له بالرمز

[عدل] لحق متجهة


المستوى المتجهي منسوب لمعلم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالمتجهة من التي أفصولها a و أرتوبها b ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي يسمى 'لحق' المتجهة .