كيف تعلم طلابك عمليا أن يكتشفوا القوانين في الرياضيات؟

بسم الله الرحمن الرحيم



كيف تعلم طلابك عمليا أن يكتشفوا القوانين في الرياضيات؟

لمعلم الرياضي الناجح هو المعلم الذي يطور ويحسن مهارة الاكتشاف لدى طلبته ، يتم التحسين والتطوير من خلال الأنشطة الموجهة والهادفة ، فكما استطاع الإنسان أن يوفر المناخ والجو الملائم لنبتة البندورة ( لا للحصر ) أن تثمر في غير أوانها شتاءً، من خلال تهيئة العوامل والأساليب التي تساعد على الأثمار (مع التحفظ على هذه المقارنة بسبب الفرق الهائل بين النبتة والطالب ،الذي يمتلك بنية معرفية تفوق النبتة ،و أعقد أجهزة الحاسوب العملاقة، و تختلف عن كل الكائنات الحية ) فكذلك المعلم الماهر يستطيع أن يوفر المناخ
الاستكشافي الإبداعي لدى طلبته من خلال الشعار الذي يقول : لا تطعمني مليون سمكة ، ولكن علمني أن أصطاد سمكة من فضلك . نعم لأن من يصطاد سمكة قد يصطاد غيرها وغيرها حتى يصبح صيادا ماهرا ، و لا تنس عزيزي القارئ حكمة العالم الذي سأله أصدقاؤه السذج في قديم الزمان : ها أنت قد أجريت مئة تجربة فاشلة و لم تحصل على نتيجة صحيحة ؟؟؟ نعم … نعم … ،إجابة الحكيم ،لكن المرة مئة و واحد سأكتشف القانون ، لأنني أعرف مئة طريقة خطأ ، و سأتجنبها جميعا ، وفعلا المرة مئة و واحد كان الاكتشاف ! في هذه المقال!
ة سيتم عرض أربعة أنشطة تهدف إلى اكتشاف قانون محيط الدائرة ومساحتها، و قانون مساحة سطح الكرة وحجمها ( يستطيع أي معلم اقتباس هذه الأفكار وتطويرها لمواضيع أخرى في مادة رياضيات(


النشاط الأول

الموضوع : محيط الدائرة ( ح = 2 نق (
الهدف : أن يكتشف الطالب قانون محيط الدائرة عمليا ( طول محيط الدائرة يساوي تقريبا طول 6 أنصاف أقطار الدائرة ، أو ثلاثة أقطار).
المواد والتجهيزات اللازمة :
ستة علب مختلفة في القياسات و فارغة على شكل أسطوانة دائرية قائمة ، خيوط عادية رفيعة ، مسطرة ، مثلثان بلاستيكيان قائمان ( متوفرة في علب الهندسة ) ، قلم رصاص .
الإجراءات :
1) ضع أرقاما متسلسلة على كل أسطوانة .
2) سجل الأرقام المتسلسلة في العمود الأول من الجدول في الأسفل .
3) لف الخيط على محيط القاعدة بحيث يكون طول الخيط يساوي محيط دائرة الاسطوانة ، كرر هذه العملية لجميع الأسطوانات الستة .
4) سجل طول الخيط الذي يمثل محيط كل أسطوانة في الجدول الأسفل .
5) قس طول قطر قاعدة كل أسطوانة ثم سجله في العمود المناسب في الجدول . تذكر : لقياس طول قطر القاعدة ؛ ثبت الأسطوانة بين المثلثين البلاستيكيين بشكل عمودي بحيث يكون أحد ضلعي القائمة مماسا لجسم الأسطوانة و الأخر منطبق على حافة المسطرة ، ثم أقرا المسافة المحصورة بين رأسي المثلثين من جهة الأسطوانة و المنطبقين على المسطرة
6) من الخطوة الخامسة ، أحسب طول نصف قطر القاعدة ، من خلال قسمة كل الأعداد في العمود على 2 .
7) أكمل الفراغ في العمودين الأخيرين من الجدول ، ثم سجل اكتشافك أسفل الجدول .

املأ الجدول الأتي :
كم مرة طول خيط المحيط أطول من نصف قطر الأسطوانة؟ كم مرة طول خيط المحيط أطول من طول القطر ؟ قياس طول نصف قطر دائرة الأسطوانة قياس طول قطر دائرة الأسطوانة قياس طول الخيط الذي يمثل محيط دائرة الأسطوانة. رقم الأسطوانة


ماذا تلاحظ في العمود الأخير من الجدول؟

.................................................. .................................................. .....................................

.................................................. .................................................. .....................................
في العمود الأخير لا بد أن تكون العلاقة بين المحيط و نصف القطر : طول الخيط الذي يمثل طول المحيط في العمود الأول يساوي 6 أضعاف طول نصف القطر أي ؛ ح= 6 نق (أو 3 أقطار كما في العمود قبل الأخير ) لأن 6 و كذلك 3 ، وهنا ينوه المعلم إلى أنه بسبب الدقة العلمية المتناهية ، و بسبب وجود نسبة خطأ في قياساتنا و بسبب التوفيق بين الجانب العملي والجانب النظري ( المثالي )، فقد اتفق العلماء أن نعوض بدل ح= 6 نق ؛ ح = 2 نق . قد يتوقع من أحد الطلبة ( وهذا ليس غريبا) ، أن يصيغ الاكتشاف كما يأتي : طول محيط الدائرة يساوي طول ثلاثة أقطار لها تقريبا أو طول ستة أنصاف أقطار لها تقريبا ، أو طول نصف قطر الدائرة يساوي سدس محيطها تقريبا ، أو طول قطر الدائرة يساوي ثلث محيطها تقريبا ، إن جميع هذه الإجابات إبداعية ولها معنى في بنية الطالب المعرفية الرياضية .


النشاط الثاني
الموضوع : مساحة الدائرة .
الهدف : أن يكتشف الطالب قانون مساحة الدائرة عمليا ( مساحة الدائرة تساوي تقريبا مساحة ثلاث مربعات منشئات على نصف قطرها ).
المواد والتجهيزات اللازمة : الأدوات الهندسية ، مقصات ، صمغ ، أوراق العمل ( مرفقة هنا (
خطوات التنفيذ 1) توزيع ورقة العمل الآتية على الطلبة

يلاحظ أن هذه الدوائر مختلفة من حيث نصف القطر .
2) تكليف الطلبة قياس أنصاف أقطار الدوائر جميعها .
3) توزيع ورقة العمل الآتية على الطلبة ( يجب أن يكون طول نصف قطر كل دائرة يساوي طول ضلع المربع ؛ أي كل دائرة لها 5 مربعات ، طول ضلع هذه المربعات يساوي طول نصف قطر الدائرة ، لذلك يرجى الدقة عند تصميم هذا النشاط من قبل المعلمين ، مع ملاحظة أن الرسومات هنا تقريبية وغير دقيقة ، وهي من أجل التوضيح فقط ) . ش(

4) أبحث عن المربعات التي طول ضلعها يساوي طول نصف قطر الدائرة ؛ عين كل دائرة مع المربع الذي طول ضلعه يساوي نصف قطرها .
5) قص المربعات بالمقص ، ثم حاول لصق أكبر عدد ممكن من المربعات على سطح الدائرة وذلك بشرط أن يكون طول ضلع المربع الذي تلصقه يساوي طول نصف قطر الدائرة ، ويجب عدم ترك فراغ على سطح الدائرة .
6) كم مربعا يلزم لتغطية الدائرة الواحدة ؟

.................................................. .................................................. .......................................

.................................................. .................................................. .......................................

إذا نفذ الطالب النشاط بعناية ودقة فسيلاحظ أن عدد المربعات اللازم هو 3 ، أي أن مساحة الدائرة تساوي مساحة ثلاث مربعات منشئات على نصف قطرها وبالرموز ؛
مساحة الدائرة ( تقريبا ( نق2 وهو ما يساوي بالضبط نق2 ، ويحتمل أن تكون هناك إجابات أخرى للطلبة مثل : مساحة المربع المنشأ على نصف قطر الدائرة يساوي تقريبا ثلث مساحة الدائرة ، و يمكن أن يربط أحد الطلبة مساحة الدائرة بمساحة المربع المنشأ على قطرها وهكذا .



النشاط الثالث

الموضوع : مساحة سطح الكرة .
الهدف : أن يكتشف الطالب قانون مساحة سطح الكرة عمليا ( مساحة سطح الكرة تساوي تقريبا مساحة 12.5 مربعا منشأ على نصف قطرها)

المواد والتجهيزات اللازمة : الأدوات الهندسية ، مقصات ، كرة القدم ، ورق تجليد
خطوات التنفيذ 1) جد طول قطر كرة القدم من خلال تثبيتها على مسطرة وبين مثلثين قائمين.
2) جد طول نصف قطر الكرة من الخطوة الأولى .
3) غلف كرة القدم بشكل جيد بورق التجليد ( أي أنك تصنع كرة أخرى من الورق ( .
4) انزع ورق التجليد بلطف ( كرة الورق من الخطوة السابقة) .
5) قص ورق التجليد ( الذي نزعته عن الكرة ) إلى مربعات ، بحيث يكون طول ضلع كل مربع يساوي طول نصف قطر الكرة .
6) ما عدد المربعات التي حصلت عليها ؟ وما العلاقة بين عدد المربعات وسطح الكرة ؟
يلاحظ أن عدد المربعات يساوي ( تقريبا ) 12,5 ؛ أي أن مساحة سطح الكرة تساوي مساحة 12,5 مربعا منشئا على نصف قطرها وهو ما يدل عليه القانون بالتقريب
مساحة سطح الكرة نق2 وهو ما يساوي بالضبط 4 نق2 .
يتوقع أن يكتشف أحد الطلاب العلاقة ( القانون ) بصورة عكسية ؛ أي أن مساحة المربع المنشأ على نصف قطر الكرة يساوي تقريبا 112 ، وقد تكون هناك إجابات أخرى إبداعية .



النشاط الرابع
الموضوع : حجم الكرة
الهدف : أن يكتشف الطلب قانون حجم الكرة عمليا ( حجم الكرة يساوي تقريبا حجم 4 مكعبات منشئات على نصف قطرها ).
المواد والتجهيزات اللازمة : الأدوات الهندسية ، مشرط أو سكين ، ثمار التفاح أو الفجل أو أي شئ كروي يمكن تقسيمه بسهولة ويسر مثل كرة من اللدائن .

خطوات التنفيذ :
1) أحسب طول قطر التفاحة من خلال تثبيتها بين مثلثين قائمين وعلى حافة المسطرة.
2) أحسب طول نصف قطر التفاحة .
3) قص التفاحة الى جزئين متطابقين بالمشرط .
4) حاول تقسيم الاجزاين الى مكعبات بحيث يكون طول ضلع المكعب يساوي طول نصف قطر الكرة ( لا تهتم بوجود نتوئات في المكعبات التي حصلت عليها أو عدم انتظامها (
5) ما عدد المكعبات التي حصلت عليها ؟ وما العلاقة بين عدد المكعبات وحجم التفاحة ؟
يلاحظ أن عدد المكعبات يساوي ( تقريبا ) 4 ؛ أي أن مساحة حجم الكرة يساوي حجم 4 مكعبات منشئات على نصف قطرها وهو ما يدل عليه القانون بالتقريب
حجم الكرة نق3 وهو ما يساوي بالضبط 43 نق3 ، ويمكن توقع اكتشاف القانون بطرق أخرى مثل : حجم المكعب المنشأ على نصف قطر الكرة يساوي ربع حجم الكرة ، ويتوقع إجابات إبداعية أخرى قد يظهرها الطلبة .

ملاحظة مهمة ومتقدمة في الرياضيات ( التكامل و التفاضل ) : هناك علاقة مهمة جدا بين مساحة الدائرة ومحيطها ، إن إجراء عملية التكامل لقانون محيط الدائرة يعطي قانون مساحتها، وبالعكس فأن اشتقاق قانون المساحة يعطي قانون المحيط، وكذلك بالنسبة للكرة، فأن اشتقاق قانون حجم الكرة يعطي قانون مساحة سطحها ، وتكامل قانون مساحة السطح يعطي قانون الحجم . فلو تم تقديم هذه الفكرة إلي طلبة التوجيهي فأنها تساعدهم في تخزين هذه القوانين بيسر وسهولة من خلال علاقة لها معنى رياضي منطقي.



الخلاصة : إن الأنشطة أعلاه تبني المعنى لدى الطلبة من خلال الأنشطة عمليا وبصورة قريبة جدا من الجانب النظري ، لذلك يرجى عدم الاستهانة بهذا النوع من الانشطة ، والتي قد تخزن في ذاكرة الطلبة لفترة طويلة جدا ، ويستطيع الطالب الحكم على نجاعة وصحة حله عند حساب محيط الدائرة ومساحتها ، وكذلك عند حساب مساحة سطح الكرة وحجمها ، فالطالب يعرف عمليا ونظريا أن طول محيط الدائرة يساوي تقريبا طول 6 أنصاف أقطار لها، وكذلك فأن مساحة الدائرة تساوي مساحة 3 مربعات منشئات على نصف قطرها ، وكذلك الأمر لمساحة سطح الكرة تساوي مساحة 12 أو 13 مربعا منشئا على نصف قطرها، وأن حجم الكرة يساوي حجم 4 مكعبات منشئات على نصف قطرها ، وفي النهاية لابد من الاعتراف بإن تطوير مهارة الاكتشاف من خلال التقدير في الرياضيات من الأمور المهمة جدا لدى جميع التربويين لأنها تنمي حب الاكتشاف وتطلق العنان للخيال في الإبداع ، لم لا والتقدير مع الاكتشاف عبارة عن تخمين ومعالجة ذكية للبيانات والظواهر الرياضية.

بسم الله الرحمن الرحيم

اينشتاين والسيدة

بينما كان العالم الرياضي الشهير " ألبرت اينشتاين " في إحدى الحفلات العامة فاقتربت منه سيدة وطلبت منه أن يشرح لها النظرية النسبية فروى لها القصة التالية:

كنت مرة مع رجل مكفوف البصر فذكرت له أنني أحب الحليب .

فسألني: ما هو الحليب ؟

قلت: إنه


سائل ذو لون أبيض.

فقال : أما السائل فإنني أعرفه . ولكن ما هو اللون لأبيض ؟

قلت: إنه لون ريش البجع.

فقال أما الريش فإنني أعرفه . ولكن ما هو البجع ؟

قلت : إنه طائر رقبته ملتوية .

فقال : أما الطائر فإنني أعرفه . ولكن ما معنى ملتوية؟

" عند إذن أخذت ذ راعه ومددتها ثم ثنيتها " وقلت هذا معنى الالتواء .

فقال الرجل : آه : الآن عرفت ما هو الحليب .

ثم قال آينشتاين للسيدة : والآن يا عزيزتي أما زلت ترغبين في أن اشرح لك النظرية النسبية ؟

بسم الله الرحمن الرحيم

وار رياضي
د. علي عثمان-(سخنين)- أكاديمية القاسمي -باقة الغربية-حيفا

(هذا نموذج لدرس في الرياضيات، الطالب في مركزه، يحلل، يفكر، يعرض وجهات نظره، ينتقد ذاته، يصحح، يعمم، يبرهن ويعرف أهمية البرهان، يدقق في فهم النصوص، يشارك زملاءه، يبذل الجهود ويسأل، ويعرف كيف يسأل).
قال هيثم: سمعت من عبير أنه لو أخذنا عدداً طبيعياً أيا كان وضربناه في 6 ثم جمعنا للناتج 1 فإننا نحصل على عدد أولي.
فكر باهر قليلاً وقال: إن كلام عبير هذا غير صحيح. فلو اخترنا مثلاً العدد 4 وضربناه في 6 وجمعنا لحاصل الضرب 1 نحصل على 25

وهو عدد غير أولي.
قال هيثم: صحيح ما تقول فيبدو أني لا أذكر جيداً. ولكن ماذا لو اخترنا عدداً طبيعياً وضربناه في 6 وطرحنا من حاصل الضرب 1؟
مثلاً 5 =1- 1 × 6 ، 11 = 1-6 × 2، 17 =1 - 3 × 6 ، 23 =1-4 × 6 ، جميعها أعداد أولية.
قال باهر: إنه أمر مدهش، لم أسمع بهذا من قبل. ولقد سمعت من معلمي أنه لا يعرف قانوناً لمتوالية لا نهائية جميع حدودها أعداد أولية.
قال هيثم: هيا نتصل بعبير ونعلمها بهذا.
وعندما اتصل هيثم بعبير قالت: يسعدني أن تكتشف نظرية ولكني أنبهك الى أن هذا العدد من التجارب لا يكفي، فيجب البرهان.
شكر هيثم عبير على هذه النصيحة. جلس هيثم وباهر، هيثم يفكر بالبرهان وباهر بالفحص. بعد قليل أعلن باهر: هذه القضية خاطئة. فلو اخترنا العدد 20 مثلاً فإن:
119 = 1 - 20 × 6 ولكن 119 = 17 × 7 فهو ليس أولياً.
وافق هيثم باهراً واتصل مرة أخرى بعبير ليعلمها بما توصلا إليه. عندها قالت عبير: إني أذكر أني قرأت بإحدى المجلات أن كل عدد أولي هو من الصورة 6n+1 أو 6n-1. ولكنني لا أذكر البرهان.
أعلم هيثم باهراً بهذا. وهذه الجملة خاطئة أيضاً، قال باهر. إذ أن العددين 2 و 3 ليسا من هذه الصورة. هيا اتصل بها وأخبرها بهذا.
قال هيثم: مهلاً، لا أريد أن أحرجها أكثر وأنا أعرف أنها مشغولة في حل مسائل هندسية. هيا نفكر أولاً بإثبات النظرية بالنسبة للأعداد الأولية الأكبر من 3 فأظن أنها تحقق النظرية مثلاً: 7=1+1×6، 11=1-2×6، 13=1+2×6.
بعد دقائق، قال هيثم: كل عدد طبيعي أكبر من 4 هو من الصورة:
6n+5, 6n+4, 6n+3, 6n+2, 6n+1, 6n، ولكن عدد من الصورة 6n+5 يمكن أن نكتبه بالصورة 6m-1(أي من الصورة 6n-1). تدخل باهر وقال: 6n يقسم على 2، 6n+2 يقسم على 2، 6n+3 يقسم على 3، 6n+4 يقسم على 2.
قال هيثم: إذاً فإن الأعداد التي ذكرتها ليست أولية؟
قال باهر: نعم. لذلك فالعدد الأولي يجب أن يكون من الصورة 6n+1 أو 6n-1 باستثناء
2 و 3. تشجع هيثم واتصل بعبير وأعلمها بما توصلا إليه.
قالت عبير: أشكركما جداً وما مع المسألة الأولى.
قال هيثم: أية مسألة تعنين؟
قالت عبير أعني المسألة أنه عند تعويض عدد طبيعي بدل n في الصورتين 6n-1, 6n+1 فإننا نحصل على عددين أحدهما على الأقل عدد أولي.
قال هيثم: لقد أخبرتك بأن هذه القضية خاطئة فلو عوضنا n=20 فإننا نحصل على: 119=1-20×6، 121=1+20×6.
قالت: شكراً شكراً، تذكرت.
قال باهر: يبدو أنها لا تكتفي بمثل واحد، هيا نجد قانوناً لمتوالية لا نهائية، عندما نعوض كل حد من حدودها في كلا الصورتين نحصل على عددين غير أوليين.
قال هيثم: إنك تبحث عن المشاكل، إنها مسألة جدية، وإني معجب بتفكيرك هذا.
قال باهر: هذا التفكير بسبب التحدي الذي أشعر به.
قال هيثم: لنبحث عن متوالية أعداد بحيث أن تعويض كل منها في 6n-1 يعطي عدداً غير أولي.
قال باهر: إني أرى هذه الصورة مثل a2-1 وعندها (a-1)(a+1)=a2-1
قال هيثم: قصدك أن تعوض n=6k2
قال باهر: أنا لم أقصد هذا، بل أنت اكتشفت هذا، نعم لو عوضنا n=6k2 فإن:
6n - 1 = 6 ´ 6k2 - 1= (6k)2 - 1= (6k - 1)(6k + 1) فهو عدد غير أولي.
قال هيثم: وماذا تكون الصورة 6n + 1 عندها؟
أكمل هيثم: 6 ´ 6k2 + 1= (6k)2 + 1 . والآن متى يكون (6k)2+1 عدداً غير أولي؟
نظر هيثم وباهر نظرات تفكير وعجز أمام هذه المسألة. فجأة سمع الاثنان قرعاً على الباب. وإذا بعبير تدخل.
قالت عبير أتيت لأشارك في التفكير ولأعرض عليكم مسألة أتعبني التفكير فيها.
قال هيثم (مبتسماً): لن نسمع مسألتك قبل أن نحل هذه المسألة.
قالت عبير: ما هي المسألة؟
قال هيثم: متى لا يكون (6k)2 + 1 أولياً؟
نظرت عبير قليلاً للمسألة وقالت: لو كان رقم آحاد (6k)2 أربعة فإن رقم آحاد (6k)2 + 1 يكون 5 وهذا العدد أكبر من 5 فهو ليس أولياً، لأنه يقسم على 5.
سر هيثم وباهر من ملاحظة عبير. التي قالت أيضاً: سمعت مسألة مشابهة وهي: متى يكون a2+1 عدد غير أولي؟
قال باهر: لنواصل قليلاً وقال: يكون رقم آحاد (6k)2 الرقم 4 عندما يكون رقم آحاد 6kإما 2 أو 8 وهذا يحدث عندما قيم k هي:
2، 7، 12، 17،……
أو 3، 8، 13، 18،……
الأول هي متوالية عددية حدها العام: k=2+5(m - 1)=5m-3
الثانية هي متوالية عددية حدها العام: k=3+5(m -1)=5m-2
والخلاصة: إنه لو عوضنا n=6(5m-3)2 أو n=6(5m - 2)2 في الصورتين 6n-1 و 6n+1 فإننا نحصل على عددين غير أوليين.
بهذا وجدنا ما لا نهاية من الأعداد. عندما نعوض كلاً منها في الصورتين 6n+1, 6n-1، نحصل على عددين غير أولين.
قالت عبير (يعد أن عرفت كل الحديث): هل توجد أعداد أخرى غير الأعداد التي في هاتين المتواليتين؟
قال باهر: بالطبع العدد 20 مثلاً.
قال هيثم: يبدو أننا توجهنا توجهاً معقداً في تحليلنا، المتوالية التي حدها العام an=6n+1 هي متوالية لا نهائية وكذلك المتوالية التي حدها العام bn=6n-1 هي متوالية لا نهائية أيضاً. ونحن نعرف أن عدد الأعداد الأولية هو عدد نهائي، ألا تذكرون برهان المعلم لهذه القضية! لذلك فإن عدد الأعداد غير الأولية ذات الصورة 6n+1 هو عدد لا نهائي وكذلك فإن عدد الأعداد غير الأولية ذات الصورة 6n-1 هو عدد لا نهائي.
قالت عبير: إن نظرية إقليدس التي برهنها المعلم أفادت بأن مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة لا نهائية. فيبدو أنك لا تتذكر جيداً يا هيثم.
قال هيثم: سأتصل بالمعلم لأتأكد.
اتصل هيثم بالمعلم وسأله.
قال المعلم: لقد برهنا أن مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة لا نهائية.
قال هيثم: إني أذكر أنك قلت، نفرض أن مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة نهائية.
قال المعلم: لقد برهنا هذه النظرية بطريقة الفرض الخاطئ. افترضنا أن مجموعة الأعداد الأولية هي مجموعة نهائية وتوصلنا ال تناقض. إني أقترح عليك دراسة البرهان بعمق أكبر. فيبدو أنك لم تفهمه جيداً.
قال هيثم: شكراً يا أستاذ. إني أجلس مع باهر وعبير ونبحث في الرياضيات.
قال المعلم: إني أقترح عليكم دراسة وفهم برهان نظرية إقليدس التي تفيد بأن مجموعة الأعداد الأولية لا نهائية. وحاولوا أن تبرهنوا حسب نفس الطريقة أن مجموعة الأعداد الأولية ذات الصورة 6n-1 هي أيضاً مجموعة لا نهائية.
قال هيثم: يا لها من مفاجأة. منذ ساعات ونحن نفكر في الأعداد التي من هذه الصورة ولقد أثبتنا وجود ما لا نهاية من الأعداد غير الأولية من هذه الصورة.
قال المعلم: بورك فيكم. حاولوا أن تبرهنوا وجود ما لا نهاية من الأعداد الأولية من هذه الصورة.
أبلغ هيثم صديقيه بفحوى حديث المعلم. درسوا برهان نظرية إقليدس.
باهر: هيا نفرض أن عدد الأعداد الأولية ذات الصورة 6n-1 هو عدد نهائي.
نفرض أن هذه الأعداد هي: p1, p2,……………pk لكي نصل الى تناقض علينا إيجاد عدد من نفس الصورة بحيث أنه لا يقبل القسمة على أي عدد أولي.
العدد p1, p2,……………pk هو من الصورة 6k-1إن كان k فردياً وهو من الصورة 6k+1 إن كان k زوجياً. عندما نضيف له 1 فإننا نحصل على عدد زوجي. فالعدد الذي نبغي بناءه يختلف في صورته عن العدد الذي اقترح في برهان نظرية إقليدس.
قالت عبير: ماذا مع العددين 2 و 3 لماذا لا ندخلهما في بناء العدد .
هيثم: أقترح أن نأخذ العدد x=2p1× ……… × pk+3
عبير: قد يكون x من الصورة 6n - 1 وقد يكون من الصورة 6n+1. تذكر أن علينا اختيار عدد من الصورة 6n - 1.
هيثم: نختار العدد x=6p1× p2 ×……… × pk-1 فمن الواضح أنه من الصورة 6n-1.
باهر: أجل، إن هذا العدد من الصورة 6n-1 وهو لا يقبل القسمة على 2 ولا يقبل القسمة على 3 ولا يقبل القسمة على أي عدد من الأعداد p1,……, pk.
هيثم: لذلك فهو عدد أولي. سأتصل بالمعلم.
اتصل هيثم بالمعلم وأخبره بما توصلوا إليه.
المعلم: ولماذا x لا يقبل القسمة على عدد أولي من الصورة 6n+1 ؟
هيثم: يبدو أني تأثرت كثيراً ببرهان نظرية إقليدس. يبدو أنه توجد مرحلة إضافية هنا.
المعلم: نعم، ما بقي عليكم فحصه هو أمر في غاية السهولة. الى اللقاء.
أبلغ هيثم صديقيه.
عبير: لقد فرضنا أن x غير أولي فهو قابل للتحليل كضرب أعداد أولية q1×q2× …… ×qj وجميع هذه الأعداد يجب أن تكون من الصورة 6n+1.
باهر: لكن ضرب أعداد من الصورة 6n +1 هو عدد من نفس الصورة.
بما أن x ليس من الصورة 6n -1 لذلك فإن x لا يمكنه أن يتحلل للعوامل. لذلك فإن x هو عدد أولي.
عبير وهيثم: وهذا يناقض الفرض، حيث أن x هذا يختلف عن جميع الأعداد p1, …… pk.
قالت عبير: سأتصل وأخبره بهذا.
هيثم: اصبري قليلاً. إنه حتماً سيطلب منا أن نبرهن وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ذات الصورة 6n +1.
باهر: صحيح، لماذا لم أفكر بهذا؟
عبير: أعتقد أن البرهان مشابه لهذا البرهان. فلو فرضنا أن عدد الأعداد الأولية ذات الصورة 6n+1 هو عدد نهائي. وأن هذه الأعداد هي p1, p2,……pr
ولو أمعنا النظر في العدد x=6p1× p2× ……pr+1 فهو أيضاً من الصورة 6n+1 ولا يقبل القسمة على 2 و 3 ولا يقبل القسمة على أي من الأعداد p1,……,pr. فلو فرضنا أن x ليس عدداً أولياً فهو قابل للتحليل كضرب أعداد أولية q1,……qmجميعها من الصورة:
6n -1. أي أن x=q1× ……× qm.
الآن: q1× ……× qm هو من الصورة 6n-1 لكن لا يوجد عدد من الصورة 6n-1 وهو أيضاً من الصورة 6n +1. سأتصل.
باهر: مهلاً! إن كل ما قلته جميل إلا الجملة قبل الأخيرة. إن q1×……×qm هو من الصورة 6n +1 عندما يكون m زوجياً.
هيثم: آه، يوجد خطأ في البرهان.
عبير: صدقت.
جلس الأصدقاء الثلاثة يفكرون في هذه المسألة وأخيراً قرروا الاتصال بمعلمهم.
اتصلت عبير بالمعلم وأخبرته بتفاصيل أبحاثهم.
المعلم: فعلاً، يوجد عدد لا نهائي من الأعداد الأولية ذات الصورة 6n+1 ولكن برهان هذه النظرية بحاجة الى دراسة أعمق في نظرية الأعداد. أقترح اختيار العدد x=(2p1×……×pr)2+3.
العدد x لا يقبل القسمة على أي واحد من الأعداد 2,3, p1,……,pr.
هناك نظرية تفيد بأنه إذا وجد y صحيح بحيث أن y2+3 يقبل القسمة على عدد أولي q فإن q يجب أن يكون من الصورة 6n+1.
بالاعتماد على هذه النظرية نستنتج أنه لا يوجد عدد أولي من الصورة 6n -1 بحيث أن x يقبل القسمة عليه. لذلك فإن x أولي. وبما أن x يختلف عن جميع الأعداد p1,……,pr وبما أنه من الصورة 6n+1, نصل الى تناقض مع الفرض.
أخبرك أيضاً بنظرية "ديريكليه" والتي تقول أن لكل عددين صحيحين موجبين وغريبين a و b توجد ما لا نهاية من الأعداد الأولية ذات الصورة a×n+b.
إن برهان هذه النظرية معقد ويحتاج الى معلومات كثيرة في نظرية الأعداد. إني أقترح عليكم البحث عن هذه النظرية في المكتبة.
عبير: ماذا تقصد بعددين غريبين؟
المعلم: هما عددان بحيث أن الكسر الذي مقامه أحدهما وبسطه العدد الآخر غير قابل للاختصار مثل (2,5) (11,12) (4,5). شكرت عبير معلمها وحدثت صديقيها عن فحوى حديثها مع المعلم.
قال هيثم: وماذا عن المسألة التي أردت الاستفسار عنها حين أتيت هنا؟
عبير: ألا زلت تذكر! مسألتي تبدو أسهل مما كنتم تفكرون فيه، وهي كالتالي: معطى معادلة مستقيم من الصورة ax +by =c، ومعطى نقطة (x0,y0 ). كيف نعرف بسرعة إن كانت النقطة واقعة على المستقيم (وهذه سهلة) أو فوقه أو تحته، دون الحاجة الى الرسم؟
قالا: نعدك أن نفكر بمسألتك غداً بعد أن نستريح قليلاً.

بسم الله الرحمن الرحيم

الرياضيات سبب تطورنا

التقدم المعلوماتي الذي يعيشه العالم اليوم ، أصبح واقعاً أقرب إلى الحلم ؛ فقبل سنوات معدودات تبتسم عندما يقال لك أن بإمكانك قراءة ومطالعة جريدتك المفضلة وأنت في بيتك ومن غير أن تصل الجريدة إلى منزلك ، وبالمثل تصفح آلاف الكتب ، وانسدال الكثير من المعلومات بضغطة زر ، ودون حيز بالبيت يذكر .
والشواهد كثيرة ، من تدفق فضائي للمعلومة بمبلغ زهيد وبجهد قليل .

ومصدر هذا التقدم الهائل وقائده هو أم العلوم ( الرياضيات ) عبر الخطوات المنطقية ، وأسلوب حل المشكلات ، وعلم الرياضيات الذي سيطر على العالم أجمع ، وأصبح ومع مرور الأيام علم له أهميته الاستراتيجية للدول من كافة الأصعدة ، في التخطيط المستقبلي ودراسة السكان ، والاقتصاد ، والأمن .
حيث يبرز دورها في تعزيز الجوانب السلوكية الإيجابية في حياتنا ، من تنظيم الوقت في الطاعات ، والصلة ، والبر . وفي احترام المواعيد ودقتها التي هي قبل كل شيء خلق إسلامي نبيل .
فصاحب الرياضيات يتعامل مع الأجزاء ويهتم بها قبل الكل ، فزيادة السرعة بمقدار قليل يعتبر تجاوز للسرعة . والتأخر عن العمل دقائق كالمتأخر أكثر ، فهو يؤمن بأن المجموعة الجزئية للمجموعة تحمل خصائص المجموعة بشكل عام .
أما دورها في كبح وتحجيم الجوانب السلوكية السلبية ، من تحديد وحصر للمشكلة بمحيطها ، وجمع المعلومات حولها وربط المواقف المختلفة وفرض الفروض لها ، واتخاذ القرار الناجع بعد توقع تبعاته ومقارنته بغيره من القرارات . حيث أن للرياضيات خصائصها ومزاياها فهي تعلم وتنمي التفكير والتبرير ، وتدرب الطالب على حل مشكلاته وكيف يكون ناجحاً وواثقاً من نفسه .


إذ أن الطبيعة المجردة للعديد من المفاهيم والأفكار الرياضية تجعل من تعليمها وتعلمها عملية تحتاج لجهد أكبر مقارنة بغيرها من العلوم.