منتديات اميه ونسة التعليمية

مرحبا بك عزيزي الزائر. المرجوا منك أن تعرّف بنفسك و تدخل المنتدى معنا. إن لم يكن لديك حساب بعد, نتشرف بدعوتك لإنشائه

انضم إلى المنتدى ، فالأمر سريع وسهل

منتديات اميه ونسة التعليمية

مرحبا بك عزيزي الزائر. المرجوا منك أن تعرّف بنفسك و تدخل المنتدى معنا. إن لم يكن لديك حساب بعد, نتشرف بدعوتك لإنشائه

منتديات اميه ونسة التعليمية

هل تريد التفاعل مع هذه المساهمة؟ كل ما عليك هو إنشاء حساب جديد ببضع خطوات أو تسجيل الدخول للمتابعة.

رياضيات . فيزياء .لغات .كل مايفيد الاستاذ و التلميذ وطالب العلم


    العلاقات المثلثية

    Bou_m
    Bou_m
    .
    .


    ذكر عدد الرسائل : 2436
    تاريخ التسجيل : 05/07/2008

    العلاقات المثلثية Empty العلاقات المثلثية

    مُساهمة من طرف Bou_m 2010-08-12, 21:04

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Pythagorean Identities
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Quotient Identities
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Co-Function Identities
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Even-Odd Identities
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Sum-Difference Formulas
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Double Angle Formulas
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Power-Reducing/Half Angle Formulas
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Sum-to-Product Formulas
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Product-to-Sum Formulas
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Bou_m
    Bou_m
    .
    .


    ذكر عدد الرسائل : 2436
    تاريخ التسجيل : 05/07/2008

    العلاقات المثلثية Empty رد: العلاقات المثلثية

    مُساهمة من طرف Bou_m 2010-08-12, 21:10

    Degrees Versus Radians:

    One revolution is 360o, and is also 2[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] radians. Thus, due to linear proportionality of the two scales, the conversion from x degrees to y radians is:

    One radian is equal to 3.14159..., and is normally approximated by 3.14. The following table gives equivalent angles in degrees, radians, and revolutions.


    Degrees
    Radians
    Revolutions
    0o
    0
    0
    30o
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    45o
    60o
    90o
    180o
    270o
    360o
    1

    Trigonometric Functions:

    The trigonometric functions are named sine, cosine, tangent, cotangent, secant, and cosecant. A trigonometric function has one argument that is an angle and will be denoted "[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]". In writing the trigonometric functions one uses the abbreviated forms: [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],,, and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], respectively. Also, sometimes these are written as [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة],,, and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], respectively.

    The value of each trigonometric function for an acute angle (<90o) can be directly related to the sides of a right triangle. Consider the angle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]in the following figure. The values of the trigonometric functions for this angle are given as:


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]



    Note: theexponents of trigonometric functions follow a special rule. If the exponent "n" is positive, then one writes [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]in place of [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. For example,


    The same rule does not apply to negative exponents since the exponent "-1" is reserved for the inverse trigonometric function.




    Functions of Complementary Angles:

    In this figure, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] are complementary angles, meaning [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Examination of the basic relation between the trigonometric functions and the sides of the triangle reveal the following relations between the complementary angles [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].



    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    Since [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], we can also write:


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Pythagorean Theorem:

    The Pythagorean theorem states that for a right triangle, as shown, there exists a relation between the length of the sides given be
    a2 + b2 = c2


    There are also Pythagorean triples for (a,b,c), such as (3,4,5), (5,12,13) and (7,24,25) sided triangles, and all constant multiples of these triplets (e.g., (6,8,10)).

    Fundamental Relations Among Trigonometric Functions:

    From the Pythagorean Theorem of plane geometry we know that x2 + y2 = r2. This can be used to derive a basic relation between the sine and cosine functions.


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    _________________
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Bou_m
    Bou_m
    .
    .


    ذكر عدد الرسائل : 2436
    تاريخ التسجيل : 05/07/2008

    العلاقات المثلثية Empty رد: العلاقات المثلثية

    مُساهمة من طرف Bou_m 2010-08-12, 21:13

    TRIGONOMETRY FOR STATICS
    PART 2:


    The Unit Circle and Visualizing Trigonometric Functions:

    The fundamental relation [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]suggests that the sine and cosine can be visualized by using a circle of unit radius. To do this, draw a circle of unit radius, as shown in the figure. Next draw a radial line from the center of the circle to the its arc and making a counter clockwise angle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]with the horizontal axis as shown in the figure. The projection of this line onto the horizontal axis is [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], the projection of this line onto the vertical axis is [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], and if the radial line is extended to intersect the vertical line AB one can get[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]as shown in the figure.
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    From the unit circle one immediately discovers that the sine and cosine functions can have values from -1 to 1, and that the tangent can have any value form [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]to [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

    One denotes the quadrants of the unit circle as shown in the figure. It can be seen that the sine has positive value in the first and second quadrants, and negative value in the third and fourth quadrants. The cosine has positive value in the first and fourth quadrant and negative value in the second and third quadrants. The tangent has positive value in the first and third quadrants and negative value in the second and fourth quadrants.
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    The unit circle can also help one memorize the values of the trigonometric functions. For example, at [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    At [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    At [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    At [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]



    Inverse of Trigonometric Functions:

    The inverse trigonometric functions are: arcsine, arccosine, and arctangent. For a specific value z, these are written as: [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. For example, the function [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]provides the angles [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]that has [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. In a similar manner, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and, respectively, provide the angles for which [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

    For example, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]means the angle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]for which the sine has a value of 0.5. Thus, one solution is [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. Likewise, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]has a solution[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].

    The inverse trigonometric functions are also written as sin-1, cos-1, and tan-1. For example, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]is the same as [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. This contradicts the convention established for positive exponents. Therefore, even though [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    The inverse trigonometric functions are multi valued. For example, the angles [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]all satisfy the relation [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and are, therefore, the solutions to [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. This can clearly be seen on the unit circle since the projection of radial lines at 30o and 150o onto the vertical axis are the same.




    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]




    On the unit circle the addition of 360o to any angle results in a new radial line that falls on top of the original radial line. Therefore, the value of any trigonometric functions at an angle [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]is the same as its value at [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. This is also true for the addition of any integer multiple of 360o so that, for example, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]for any integer n.
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    Law of Sines:

    The law of sines states that



    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    This can be shown by considering the triangles AXB and CXB in the following figure. We have [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], hence[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]or [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. In a similar manner one can show that [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].


    Law of Cosines:

    The law of cosines states that
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    This can be shown by considering the triangle BXC that gives:

    a2 = p2 + (CX )2 = p2 + (b - AX)2
    or a2 = p2 + b2 + (AX)2 - 2b(AX) (1)
    Considering the triangle AXB one gets:
    p2 + (AX)2 = c2 and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Substituting these into (1) one obtains:

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    The other relations are obtained in a similar manner.


    _________________
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
    Bou_m
    Bou_m
    .
    .


    ذكر عدد الرسائل : 2436
    تاريخ التسجيل : 05/07/2008

    العلاقات المثلثية Empty رد: العلاقات المثلثية

    مُساهمة من طرف Bou_m 2010-08-12, 21:14

    TRIGONOMETRY FOR STATICS
    PART 3:

    Values of Trigonometric Functions at Specific Angles:
    For 0o and 90o: These functions are limiting values that can be observed from the drawing. As side y approaches 0 (zero), the x approaches r.


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    For 30o and 60o:


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    For 45o:


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    Trigonometric Identities:

    Basic identities:

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    Half-angles:


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    Identities in terms of tan (q/2):


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]where [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    Curves of Sine, Cosine, and Tangent:

    Sine function:
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    The sine function is an odd function since

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    Cosine function:
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    The cosine function is an even function since


    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]


    Tangent function:
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    The tangent function is an odd function since

    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    Note that
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]as[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

    Approximation of Trigonometric Functions at Small Angles:

    As a close approximation, when an angle[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة](expressed in radians) is very small, we may use the following approximations


    GO BACK TO PART


    _________________
    [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]

      الوقت/التاريخ الآن هو 2024-11-07, 17:37