[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
Euler's Formula
Since [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] is the algebraic expression of [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] in terms of its rectangular coordinates, the corresponding expression in terms of its polar coordinates is[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
There is another, more powerful representation of [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] in terms of its polar coordinates. In order to define it, we must introduce Euler's Formula:
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] (2.1)
A proof of Euler's identity is given in the next chapter. Just note for the moment that for [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], we have [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], as expected. Before, the only algebraic representation of a complex number we had was[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], which fundamentally uses Cartesian (rectilinear) coordinates in the complex plane. Euler's identity gives us an alternative algebraic representation in terms of polar coordinates in the complex plane:[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
This representation often simplifies manipulations of complex numbers, especially when they are multiplied together. Simple rules of exponents can often be used in place of more difficult trigonometric identities. In the simplest case,[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
A corollary of Euler's identity is obtained by setting [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] to get[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
This has been called the ``most beautiful formula in mathematics'' due to the extremely simple form in which the fundamental constants [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], and [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] all appear.
For another example of manipulating the polar form of a complex number, let's again verify [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], as we did above, but this time using polar form:[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
We can now add a fourth line to that set of examples:[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Euler's identity can be used to derive formulas for sine and cosine in terms of [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]:[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
Similarly, [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة], and we have