صيغة ديموافر
de Moivre's formula
ديموافر (1667-1754م) رياضي فرنسي الأصل والمولد, عمل في حقل[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] الاحتمالات واشتهر بصيغته التي سنعرضها الآن والتي حملت اسمه بعد مماته وقد توفي في مدينة لندن.
نظرية[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] 1 (صيغة ديموافر): إذا كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن
أو بعبارة أخرى وباستخدام صيغة أويلر [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]تأخذ صيغة ديموافر الصورة التالية
البرهان: الصيغة صحيحة عند n=0. نثبت الآن صحتها عند كل عدد صحيح موجب n بواسطة الاستقراء الرياضي[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]. واضح أن الصيغة صحيحة عند k=1 . الآن افرض أنها صحيحة عند العدد الصحيح الموجب k. إذا
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
إذا
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
إذا
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
إذا صيغة ديموافر متحققة عند العدد الصحيح k+1 ومن مبدأ الاستقراء الرياضي متحققة لكل عدد صحيح موجب.
نثبت الآن صحة صيغة ديموافر لكل عدد صحيح سالب بناء على صحتها لكل عدد صحيح موجب. فإذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عدد صحيحا سالبا فمن الجزء المثبت آنفا لدينا
ولكن
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
إذا
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
وبهذا يثبت المطلوب.