النهايات لاتمثل اعجازا في علم الرياضيات بل على العكس فهي الحل الأمثل لبعض الأسئلة الرياضية المحيرة كما أنها تمثل البنية الأساسية لتعريف عملي التفاضل والتكامل.
متى ولماذا نلجأ للنهاية؟؟
يمكن القول أن أي دالة رياضية لها نهاية. على سبيل المثال نهاية الدالة 3 هي 3 ونهاية الدالة س عندما س تقترب من 4 هي 4 ونهاية الدالة س*س عندما تقترب س من 4 هي 16 وهكذا...
لكن المشكلة تكمن أحيانا في الدوال الغير معرفة (بعد التعويض مثلا) ما يصعب علينا الحل. على سبيل المثال لا أحد يستطيع التنبؤ بكمية المقدار 0/0. قد يقول شخص ما ربما أن 0/0 يساوي 1 لتماثلهما ويكون محقا ثم يأتي اخر فيقول أن 0/0 قد تكون 2 فنتساءل لماذا وعندما يأتينا بمثال مستندا إلى اثبات سابقه (مثلا أن يضعها بالصورة 2×0/0 وباعتبار أننا صدقنا أن 0/0=1 فإن 2×0/0=2×1=2) نصدقه فيما بعد ويأتي شخص ثالث فيقول 0/0 قد يكون متغيرا اسمه س ويأتي أيضا ببرهان مقنع أيضا (س×0/0) وهكذا وهنا جاء السبب في تعريف الرياضيات الدقيق أن هذه الكمية غير معرفة مالم نعرفها أو على الأقل نعرف متغيراتها أصلا قبل عملية التصفير.
لكي تعلم مدى أهمية قوانين النهايات فسأوفر عليك العناء وأضمن لك أن كل دالة رياضية كانت غير معرفة بالتعويض المباشر فإنها تصبح معرفة بالضبط عن طريق النهايات وبالتالي يتم الحسم في الأمر ونعرف من كان على حق في الاستنتاجات السابقة.
خذ مثلا الدالة (س*س-1)\(س-1) ولاحظ أنك إذا عوضت عن قيمة س=1 ستجد أن الدالة أصبحت 0/0 أي غير معرفة وأصبحت في حيرة من أمرك. لكن إذا ماحاولت دراسة تغيرات الدالة قبل أن تقع في فخ التعويض المباشر عن نقطة عدم التعريف أو عدم التعيين فإنك حتما كنت ستكتسف أن للدالة قيمة وهي 2.
إذا كنت لم تعرف ماهي النهاية وماهي قوانين النهايات بعد فمازال بإمكانك تقريب الحل بدرجة كبيرة ودون خوف وذلك بالطريقة التالية:
1- عند اكتشاف فخ عدم التعيين سجل قيمة المتغير الذي سبب المشكلة وهنا كانت القيمة س=1 هي التي سببت المشكلة
2- قم الان بالتحايل على المشكلة وحلها بطريقة تقريبية وذلك عن طريق البحث عن رقم قريب جدا من 1 وليس 1. لاحظ أن هناك فرصتان دائما هما فوق القيمة وتحت القيمة (مثلا: 1.01 و 0.99)
3- عوض عن المتغير وليكن 1.01 في الدالة السابقة وسجل النتيجة الجديدة. ستجد أنها هنا، 2.01
4- عوض عن المتغير مرة أخرى بالاحتمال الاخر وهو 0.99 ولاحظ النتيجة. ستجدها، 1.99
5-كرر الخطوات 2 إلى 4 مرة أخرى ولكن بأرقام أكثر اقترابا من المتغير ولا تساويه (مثل 1.001 و0.999)، وهكذا ولاحظ النتيجة في كل مرة.
6- ستجد حتما أن النتيجة تؤدي إلى إجابات مقتربة جادا من رقم معين وتزداد دقة الاقتراب من هذا الرقم كلما عوضنا بقيمة أكثر اقترابا من قيمة المتغير ولكن لم تتساوى بعد. يمكنك حينها أن تضمن أن النتيجة محصورة لامحالة بين كل قيمتين وهي أقرب ماتكون إلى عدد ثابت في هذا المثال وهو 2.
تكون بهذه الطريقة قد اثبت أنك قادر على تفسير السبب بنفسك واجتهدت حتى وصلت لإجابة كانت مستحيلة بالتعويض المباشر.
تعتبر الطريقة السابقة مفيدة جدا في حل بعض النهايات ذات القيم الثابتة إلا أنها تتعقد أكثر عندما تتعدد القيم. ينشأ تعدد القيم عندما تكون أكبر قوة أو أس موجود في البسط أكثر من أكبر أس في المقام بمقدار 2 على الأقل. إذا كانت دالة كثيرة الحدود في البسط تفوق دالة كثيرة الحدود في المقام بمقدار (ن) من القوى فإننا نتوقع وجود عدد (ن) من الإجابات الثابتة (لأنها ستكون جذور المعادلة الجديدة).
مايزيد الأمر تعقيدا هو دخول دوال أخرى غير كثيرة الحدود في التعابير الرياضية مثل دوال اللوغاريتمات والجذور والدوال المثلثية وهذا يؤدي إلى زيادة احتمالات الحلول بكثير.
إن كل هذه الأسباب جعلت الرياضياتيين يقومون بابتكار طرق أكثر فعالية في إيجاد حلول الدوال التي تأخذ الصورة غير المعرفة بالتعويض المباشر وأسموها طرق النهايات.
على سبيل المثال كان بإمكاننا الانتباه إلى أن الدالة السابقة (س*س-1)\(س-1) يمكن تحليلها بالشكل (س-1)(س+1)\(س-1) وتبسيطها بالاختصارات إلى س+1. أخيرا عند تعويض القيمة الحرجة س=1 في التعبير الجديد الذي تم تبسيطه سنكتشف أن الحل هو 2 بكل بساطة لأننا استعنا بأحد الحيل الرياضية في حل النهاية...
يمكنك السير على هذا المنوال ومحاولة حل أي نوع من أنواع النهايات مهما كان معقدا طالما استطعت تبسيط الدوال الرياضية وفي أسوأ الأحوال يمكنك اللجوء للقانون العام في حل النهايات (قاعدة لوبيتال).
المهم هو أن تتذكر دائما أن النهاية ليست سوى تبسيط لمعرفة الحل الدقيق للدالة عند أي نقطة بمافي ذلك النقاط غير المعرفة. تذكر أيضا أن بعض الدوال يمكن أن تحل مباشرة دون اللجوء لقانون النهاية بل أنك قد تقع في الخطأ رياضيا عند محاولتك لتبسيط دوال معرفة أصلا عند نقطة ما.
على العموم هناك طريقة تمكنك من إيجاد النهايات تسمى L'hopital نسبة إلى عالم فرنسي يحمل هذا الإسم...لقد قمت بكتابة مقال في الويكيبيديا حول هذه القاعدة ستجدها من خلال الرابط التالي:
قاعدة_لوبيتال/http://ar.wikipedia.org/wiki
كما يمكنك مراجعة هذا الموقع كذلك به بعض الدروس و التمارين
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]
متى ولماذا نلجأ للنهاية؟؟
يمكن القول أن أي دالة رياضية لها نهاية. على سبيل المثال نهاية الدالة 3 هي 3 ونهاية الدالة س عندما س تقترب من 4 هي 4 ونهاية الدالة س*س عندما تقترب س من 4 هي 16 وهكذا...
لكن المشكلة تكمن أحيانا في الدوال الغير معرفة (بعد التعويض مثلا) ما يصعب علينا الحل. على سبيل المثال لا أحد يستطيع التنبؤ بكمية المقدار 0/0. قد يقول شخص ما ربما أن 0/0 يساوي 1 لتماثلهما ويكون محقا ثم يأتي اخر فيقول أن 0/0 قد تكون 2 فنتساءل لماذا وعندما يأتينا بمثال مستندا إلى اثبات سابقه (مثلا أن يضعها بالصورة 2×0/0 وباعتبار أننا صدقنا أن 0/0=1 فإن 2×0/0=2×1=2) نصدقه فيما بعد ويأتي شخص ثالث فيقول 0/0 قد يكون متغيرا اسمه س ويأتي أيضا ببرهان مقنع أيضا (س×0/0) وهكذا وهنا جاء السبب في تعريف الرياضيات الدقيق أن هذه الكمية غير معرفة مالم نعرفها أو على الأقل نعرف متغيراتها أصلا قبل عملية التصفير.
لكي تعلم مدى أهمية قوانين النهايات فسأوفر عليك العناء وأضمن لك أن كل دالة رياضية كانت غير معرفة بالتعويض المباشر فإنها تصبح معرفة بالضبط عن طريق النهايات وبالتالي يتم الحسم في الأمر ونعرف من كان على حق في الاستنتاجات السابقة.
خذ مثلا الدالة (س*س-1)\(س-1) ولاحظ أنك إذا عوضت عن قيمة س=1 ستجد أن الدالة أصبحت 0/0 أي غير معرفة وأصبحت في حيرة من أمرك. لكن إذا ماحاولت دراسة تغيرات الدالة قبل أن تقع في فخ التعويض المباشر عن نقطة عدم التعريف أو عدم التعيين فإنك حتما كنت ستكتسف أن للدالة قيمة وهي 2.
إذا كنت لم تعرف ماهي النهاية وماهي قوانين النهايات بعد فمازال بإمكانك تقريب الحل بدرجة كبيرة ودون خوف وذلك بالطريقة التالية:
1- عند اكتشاف فخ عدم التعيين سجل قيمة المتغير الذي سبب المشكلة وهنا كانت القيمة س=1 هي التي سببت المشكلة
2- قم الان بالتحايل على المشكلة وحلها بطريقة تقريبية وذلك عن طريق البحث عن رقم قريب جدا من 1 وليس 1. لاحظ أن هناك فرصتان دائما هما فوق القيمة وتحت القيمة (مثلا: 1.01 و 0.99)
3- عوض عن المتغير وليكن 1.01 في الدالة السابقة وسجل النتيجة الجديدة. ستجد أنها هنا، 2.01
4- عوض عن المتغير مرة أخرى بالاحتمال الاخر وهو 0.99 ولاحظ النتيجة. ستجدها، 1.99
5-كرر الخطوات 2 إلى 4 مرة أخرى ولكن بأرقام أكثر اقترابا من المتغير ولا تساويه (مثل 1.001 و0.999)، وهكذا ولاحظ النتيجة في كل مرة.
6- ستجد حتما أن النتيجة تؤدي إلى إجابات مقتربة جادا من رقم معين وتزداد دقة الاقتراب من هذا الرقم كلما عوضنا بقيمة أكثر اقترابا من قيمة المتغير ولكن لم تتساوى بعد. يمكنك حينها أن تضمن أن النتيجة محصورة لامحالة بين كل قيمتين وهي أقرب ماتكون إلى عدد ثابت في هذا المثال وهو 2.
تكون بهذه الطريقة قد اثبت أنك قادر على تفسير السبب بنفسك واجتهدت حتى وصلت لإجابة كانت مستحيلة بالتعويض المباشر.
تعتبر الطريقة السابقة مفيدة جدا في حل بعض النهايات ذات القيم الثابتة إلا أنها تتعقد أكثر عندما تتعدد القيم. ينشأ تعدد القيم عندما تكون أكبر قوة أو أس موجود في البسط أكثر من أكبر أس في المقام بمقدار 2 على الأقل. إذا كانت دالة كثيرة الحدود في البسط تفوق دالة كثيرة الحدود في المقام بمقدار (ن) من القوى فإننا نتوقع وجود عدد (ن) من الإجابات الثابتة (لأنها ستكون جذور المعادلة الجديدة).
مايزيد الأمر تعقيدا هو دخول دوال أخرى غير كثيرة الحدود في التعابير الرياضية مثل دوال اللوغاريتمات والجذور والدوال المثلثية وهذا يؤدي إلى زيادة احتمالات الحلول بكثير.
إن كل هذه الأسباب جعلت الرياضياتيين يقومون بابتكار طرق أكثر فعالية في إيجاد حلول الدوال التي تأخذ الصورة غير المعرفة بالتعويض المباشر وأسموها طرق النهايات.
على سبيل المثال كان بإمكاننا الانتباه إلى أن الدالة السابقة (س*س-1)\(س-1) يمكن تحليلها بالشكل (س-1)(س+1)\(س-1) وتبسيطها بالاختصارات إلى س+1. أخيرا عند تعويض القيمة الحرجة س=1 في التعبير الجديد الذي تم تبسيطه سنكتشف أن الحل هو 2 بكل بساطة لأننا استعنا بأحد الحيل الرياضية في حل النهاية...
يمكنك السير على هذا المنوال ومحاولة حل أي نوع من أنواع النهايات مهما كان معقدا طالما استطعت تبسيط الدوال الرياضية وفي أسوأ الأحوال يمكنك اللجوء للقانون العام في حل النهايات (قاعدة لوبيتال).
المهم هو أن تتذكر دائما أن النهاية ليست سوى تبسيط لمعرفة الحل الدقيق للدالة عند أي نقطة بمافي ذلك النقاط غير المعرفة. تذكر أيضا أن بعض الدوال يمكن أن تحل مباشرة دون اللجوء لقانون النهاية بل أنك قد تقع في الخطأ رياضيا عند محاولتك لتبسيط دوال معرفة أصلا عند نقطة ما.
على العموم هناك طريقة تمكنك من إيجاد النهايات تسمى L'hopital نسبة إلى عالم فرنسي يحمل هذا الإسم...لقد قمت بكتابة مقال في الويكيبيديا حول هذه القاعدة ستجدها من خلال الرابط التالي:
قاعدة_لوبيتال/http://ar.wikipedia.org/wiki
كما يمكنك مراجعة هذا الموقع كذلك به بعض الدروس و التمارين
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]