منتديات اميه ونسة التعليمية

مرحبا بك عزيزي الزائر. المرجوا منك أن تعرّف بنفسك و تدخل المنتدى معنا. إن لم يكن لديك حساب بعد, نتشرف بدعوتك لإنشائه

انضم إلى المنتدى ، فالأمر سريع وسهل

منتديات اميه ونسة التعليمية

مرحبا بك عزيزي الزائر. المرجوا منك أن تعرّف بنفسك و تدخل المنتدى معنا. إن لم يكن لديك حساب بعد, نتشرف بدعوتك لإنشائه

منتديات اميه ونسة التعليمية

هل تريد التفاعل مع هذه المساهمة؟ كل ما عليك هو إنشاء حساب جديد ببضع خطوات أو تسجيل الدخول للمتابعة.

رياضيات . فيزياء .لغات .كل مايفيد الاستاذ و التلميذ وطالب العلم


    قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين

    Bou_m
    Bou_m
    .
    .


    ذكر عدد الرسائل : 2436
    تاريخ التسجيل : 05/07/2008

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Empty قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين

    مُساهمة من طرف Bou_m 2010-08-01, 04:05

    قاعدة أوبيتال في التحليل الرياضي تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة في معظم الكسور. تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي قييوم دي أوبيتال.
    محتويات:
    1. مبدأ نظرية اوبيتال
    2. نص قواعد أوبيتال
    3. الاستعمالات
    4. الاستدلالات

    1. مبدأ نظرية اوبيتال



    فليكن  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين YQ== عددا حقيقيا أو حتى  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XHBtXGluZnR5، بحيث تكون الدوال الحقيقية  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Zg== و قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Zw== معرّفة بقرب  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين YQ== و قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Zw== مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Zi9n في a، بحيث يقترب كل من البسط والمقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما ونحدد نهاية كسر المشتقات. ولو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية

    ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.
    2. نص قواعد أوبيتال



    النص المبسط : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتان للاشتقاق في a وحيث يكون الكسر  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWMKCntmJyhhKX17ZycoYSl9 معرّفا :

    لو كان "f" و"g" دالتين قابلتان للاشتقاق في "a"، ومساويتين للصفر في a وحيث يكون الكسر  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWN7ZicoYSl9e2cnKGEpfQ== معرّفا، فإن

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBccmlnaHRhcnJvdyAgYX0gXGZyYWN7Zih4KX17Zyh4KX0gPSBcZnJhYyB7ZicoYSl9e2cnKGEpfQ==.

    و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.

    التعميم الأول على دوال، بحيث  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWMge2YnKGEpfXtnJyhhKX0= غير موجود بالضرورة.

    لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على النطاق ]a ; b[ وحيث نهايتهما في a، وإذا كانت g'(x) لا تساوي صفرا على ]a ; b[ وإذا كان  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBccmlnaHRhcnJvdyAgYX0gXGZyYWN7ZicoeCl9e2cnKHgpfSAgPSBM فإن  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBccmlnaHRhcnJvdyAgYX0gXGZyYWN7Zih4KX17Zyh4KX09IEw= .

    هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.

    التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في a لانهائية.

    لو كان f وg دالتين قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[ ونهايتهما في a لا نهائية، ولو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[ ولو كانت  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBccmlnaHRhcnJvdyAgYX0gXGZyYWN7ZicoeCl9e2cnKHgpfSAgPSBM فإن  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBccmlnaHRhcnJvdyAgYX0gXGZyYWN7Zih4KX17Zyh4KX09IEw= .

    هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.

    نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على ]b ; a[.

    تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض a بـ  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XHBtIFxpbmZ0eQ==.
    3. الاستعمالات



    في حالة «  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين MC8w »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين CiAgXGxpbV97eCBcdG8gMH0gXGZyYWN7XHNpbih4KX17eF4yKzN4fQogID0gXGZyYWN7XGNvcygwKX17MiBcdGltZXMgMCArIDN9CiAgPSBcZnJhY3sxfXszfQog

    في حالة « ∞/∞ »، نستعمل الصيغة الثانية :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين CiAgXGxpbV97eCBcdG8gK1xpbmZ0eX0gXGZyYWN7XHNxcnR7eH19e1xsbih4KX0KICA9IFxsaW1fe3ggXHRvICtcaW5mdHl9IFxmcmFje1xmcmFjezF9ezIgXHNxcnR7eH19fXtcZnJhY3sxfXt4fX0KICA9IFxsaW1fe3ggXHRvICtcaW5mdHl9IFxmcmFje1xzcXJ0e3h9fXsyfQogID0gK1xpbmZ0eQo=

    أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين IFxsaW1fe3ggXHRvIDB9XGZyYWN7XGNvcygyeCkgLSAxfXt4XjMgKyA1eF4yfQogID0gXGxpbV97eCBcdG8gMH1cZnJhY3stMlxzaW4oMngpfXszeF4yICsgMTB4fQogID0gXGxpbV97eCBcdG8gMH1cZnJhY3stNFxjb3MoMngpfXs2eCArIDEwfQogID0gXGZyYWN7LTJ9ezV9Cg==

    و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين CiAgXGxpbV97eCBcdG8gK1xpbmZ0eX0geCAtIFxzcXJ0e3heMiAtIHh9CiAgPSBcbGltX3t4IFx0byArXGluZnR5fSBcZnJhY3sxLVxzcXJ0ezEgLSAxL3h9fXsxL3h9CiAgPSBcbGltX3toIFx0byAwfVxmcmFjezEtXHNxcnR7MSAtIGh9fXtofQ==
     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين ICBcbGltX3t4IFx0byArXGluZnR5fSB4IC0gXHNxcnR7eF4yIC0geH0gID0gXGxpbV97aCBcdG8gMH1cZnJhY3tcZnJhY3sxfXsyXHNxcnR7MS1ofX19ezF9CiAgPSBcZnJhY3sxfXsyfQo=

    نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. وبالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال

    موجودة :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين IFxsaW1fe3ggXHRvIDB9XGZyYWN7eF4yXHNpbigxL3gpfXt4fSA9IFxsaW1fe3ggXHRvIDB9eFxzaW4oMS94KSA9IDA=

    في حين أن :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين IFxmcmFjezJ4XHNpbigxL3gpIC0gXGNvcygxL3gpfXsxfQ== ليس لها نهاية في الصفر.

    في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن g'(x) مخالفة للصفر بقرب a، بمعنى آخر أن g لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، وإلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Zih4KT14K1xjb3MoeClcc2luKHgpXCw= و قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Zyh4KT1lXntcc2luKHgpfSh4K1xjb3MoeClcc2luKHgpKVws، فإن
     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين IGYnKHgpID0gMlxjb3NeMih4KVws و قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين ZycoeCkgPSBlXntcc2luKHgpfVxjb3MoeCkoeCtcc2luKHgpXGNvcyh4KSsyXGNvcyh4KSlcLA==

    و بالتالي

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eFx0byArXGluZnR5fVxmcmFje2YnKHgpfXtnJyh4KX0KPVxsaW1fe3hcdG8gK1xpbmZ0eX1cZnJhY3syXGNvcyh4KX17ZV57XHNpbih4KX0oeCtcc2luKHgpXGNvcyh4KSsyXGNvcyh4KSl9PTA=

    و لكن

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWN7Zih4KX17Zyh4KX09XGZyYWN7MX17ZV57XHNpbih4KX19 لا تملك نهاية في  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين KyBcaW5mdHk= لأن  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWN7MX17ZV57XHNpbih4KX19Cgo= تتذبذب بين 1/e وe.
    4. الاستدلالات



    الاستدلال على الصيغة البسيطة

    إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWN7Zih4KX17Zyh4KX0gPSBcZnJhY3tmKHgpIC0gZihhKX17eC1hfVxmcmFje3ggLSBhfXtnKHgpIC0gZyhhKX0=
    بما أن f et g قابلتان للاشتقاق في a وأن الكسر  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWN7ZicoYSl9e2cnKGEpfQ== معرّف، نستطيع أن نؤكد أن

    1. g'(a) مخالف للصفر، وبالتالي g(x) مخالف للصفر على نطاق ]a ; c]
    2.  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBcdG8gYX0gXGZyYWN7Zih4KSAtIGYoYSl9e3gtYX1cZnJhY3t4IC0gYX17Zyh4KSAtIGcoYSl9ID0gXGZyYWN7ZicoYSl9e2cnKGEpfQ==

    الاستدلال على التعميم الأول

    يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لـمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ ومتواصلة على [x ; y]، ولو كانت g'(x) مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ بحيث :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWN7Zih4KSAtIGYoeSl9e2coeCkgLSBnKHkpfSA9IFxmcmFje2YnKGMpfXtnJyhjKX0=
    و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0
    بما أن g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[، نستطيع أن نطبق مبرهنة القيمة الوسطى المعممة على النطاق [a ; x]
    لكل عدد حقيقي x من ]a ; b[، يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWN7Zih4KX17Zyh4KX0gPSBcZnJhY3tmJyhjKX17ZycoYyl9.
    بما أن  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBcdG8gYX0gYyA9IGE= وأن  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBcdG8gYX0gXGZyYWN7ZicoYSl9e2cnKGEpfSA9IEw=، فإنه بالمثل لـ  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBcdG8gYX0gIFxmcmFje2YoeCl9e2coeCl9.

    الاستدلال على التعميم الثاني

    يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر.
    بما أن g'(x) مخالفة للصفر على النطاق ]a ; b[، لكل x وy مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق [x ; y]
    في كل نطاق [x ; y]، يوجد عدد حقيقي c من [x ; y] بحيث  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين IFxmcmFje2YoeCkgLSBmKHkpfXtnKHgpIC0gZyh5KX09IFxmcmFje2YnKGMpfXtnJyhjKX0=
    بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه g(x) مخالفة للصفر، ويمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Zih4KSA9IChnKHgpIC0gZyh5KSlcZnJhY3tmJyhjKX17ZycoYyl9ICsgZih5KQ==
     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWN7Zih4KX17Zyh4KX0gPSBcbGVmdCgxIC0gXGZyYWN7Zyh5KX17Zyh4KX1ccmlnaHQpXGZyYWN7ZicoYyl9e2cnKGMpfStcZnJhY3tmKHkpfXtnKHgpfQ==
    بما أن  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97dCBcdG8gYX0gXGZyYWN7ZicodCl9e2cnKHQpfSA9IEw=، وc تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار y بحيث يكون  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGZyYWN7ZicoYyl9e2cnKGMpfQ== قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل x من ]a ; a + r[.

    للنهايات في  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XHBtIFxpbmZ0eQ==، يكفي أن نضع x = 1/t ونحاول أن نجد نهاية في 0.

    لتكن f وg دالتين معرّفتين على [M > 0 ;  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين KyBcaW5mdHk=[، قابلتين للاشتقاق على ]M ;  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين KyBcaW5mdHk=[، إذا كانت g'(x) مخالفة للصفر وكانت  قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBcdG8gK1xpbmZ0eX1cZnJhY3tmJyh4KX17ZycoeCl9ID0gTA== فإن
     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين XGxpbV97eCBcdG8gKyBcaW5mdHl9XGZyYWN7Zih4KX17Zyh4KX0gPSBcbGltX3t0IFx0byAwXit9XGZyYWN7ZigxL3QpfXtnKDEvdCl9ID0gXGxpbV97dCBcdG8gMF4rfVxmcmFjeygtMS90XjIpZicoMS90KX17KC0xL3ReMilnJygxL3QpfSA9IFxsaW1fe3ggXHRvICtcaW5mdHl9XGZyYWN7ZicoeCl9e2cnKHgpfSA9IEw=
    Bou_m
    Bou_m
    .
    .


    ذكر عدد الرسائل : 2436
    تاريخ التسجيل : 05/07/2008

     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Empty رد: قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين

    مُساهمة من طرف Bou_m 2010-08-01, 12:38

    http://www.marefa.org/index.php/%D9%82%D8%A7%D8%B9%D8%AF%D8%A9_%D8%A7%D9%88%D8%A8%D9%8A%D8%AA%D8%A7%D9%84


    _________________
     قاعدة لوبيتال //استعمال الاشتقاق لحساب النهايات//عند حالات عدم التعيين Move2410

      الوقت/التاريخ الآن هو 2024-11-07, 21:39