مجموعة الأعداد المركبة
الصورة اللاحقة
المستوى منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس
النقطة M ذات الاحداثيين ( a ,b) تسمى صورة العدد المركب z = a + i b و الشعاع
يسمى الصورة الشعاعية للعدد المركب z نرمز له بالرمز (M (z صورة z العدد المركب z يسمى
لاحقة النقطة ( M ( x , y وهو لاحقة الشعاع .
مجموع عددين مركبين
z',z عددان مركبان ' s = z + z مجموعهما الصورة الشعاعية للعدد z هي جمع الصورتين
الشعاعيتين للعددين z', z
معاكس عدد مركب
عددان مركبان متعاكسان z و' z لهما صورتان متناظرتان بالنسبة إلى مبدأ المعلم O
جداء عدد حقيقي و عدد مركب
إذا كان z ' , z عددان مركبان لاحقتا النقطتين M ' , M على الترتيب وكان k عدد حقيقي
غير معدوم حيث : z ' = k z النقطة ' M هي صورة النقطة M بواسطة التحاك الذي
مركزه النقطة O و نسبته العدد k .
مرافق عدد مركب
إذا كان z = a + i b ( حيث a و b عددان حقيقيان) مرافق العدد المركب z هو العدد المركب
a + i b = عددان مركبان مترافقان صورتاهما على الترتيب متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل .
طويلة و عمدة عدد مركب :
ليكن z عدد مركب غير معدوم نسمى طويلة و عمدة العدد المركب z = a + i b
العددان الحقيقيان ρ وθ المعرفان كمايلى :
هام جدا : العدد المركب المعدوم ليس له عمدة
اذا كانت النقطة M صورة العدد المركب z فان طويلة z تساوى المسافة OM وعمدة z
هى قيس الزاوية الموجهة .
الشكل المثلى والجبرى لعدد مركب ( ملف اكسل)
المسافة AB
A , B نقطتان من المستوى لاحقتهما ZA وZB على الترتيب المسافة AB هى طويلة العدد المركب
AB= |ZA-ZB| : ZB - ZA
مثلا : نريد حساب المسافة AB علما أن A و B لاحقتاهما على الترتيب 3 + i و 1- 2i
لاحقة شعاع
A , B نقطتان من المستوى لاحقتهما ZA وZB على الترتيب لاحقة الشعاع هى
العدد المركب ZB-ZA
لاحقة منتصف قطعة
لتكن A و B نقطتان من المستوى الركب لاحقتهما على الترتيب z A و z B لاحقة K
منتصف القطعة [AB] هى العدد المركب حيث :
زاوية موجهة :
لتكن A و B نقطتان من المستوى الركب لاحقتهما على الترتيب z A و z B
عمدة العدد المركب ZB-ZA تساوى قيس الزاوية :
بشكل عام اذا كان شعاعان و لاحقتهما z و' z فان :
تمرين1
فى المستوى المنسوب الى معلم متعامد ومتجانس لتكن النقطة
M0 ذات الاحقة 1 = z0
النقطة M1 ذات الاحقة ,
M2 ذات الاحقة ,
Mn+1 ذات الاحقة حيث n عدد طبيعى .
1. عين طويلة وعمدة كل من الاعداد المركبة z3 , z2 , z1 و مثل النقط M3 , M2 , M1 فى المستوى المركب
2. من اجل كل عدد طبيعى n نرمز بالرمز rn الى طويلة العدد الركب zn .
* عين طبيعة المتتالية ( rn ).
* احسب المجموع Sn = OM0 + OM1+OM2 +OM3+-------+OMn
* عين نهاية Sn لما n تنتهى الى ∞ +.
3. برهن انه من اجل كل عدد طبيعى zn+1 - zn = i zn+1 , n .
استنتج ان المثلث OMnMn+1 قائم فى Mn+1 .
الصورة اللاحقة
المستوى منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس
النقطة M ذات الاحداثيين ( a ,b) تسمى صورة العدد المركب z = a + i b و الشعاع
يسمى الصورة الشعاعية للعدد المركب z نرمز له بالرمز (M (z صورة z العدد المركب z يسمى
لاحقة النقطة ( M ( x , y وهو لاحقة الشعاع .
مجموع عددين مركبين
z',z عددان مركبان ' s = z + z مجموعهما الصورة الشعاعية للعدد z هي جمع الصورتين
الشعاعيتين للعددين z', z
معاكس عدد مركب
عددان مركبان متعاكسان z و' z لهما صورتان متناظرتان بالنسبة إلى مبدأ المعلم O
جداء عدد حقيقي و عدد مركب
إذا كان z ' , z عددان مركبان لاحقتا النقطتين M ' , M على الترتيب وكان k عدد حقيقي
غير معدوم حيث : z ' = k z النقطة ' M هي صورة النقطة M بواسطة التحاك الذي
مركزه النقطة O و نسبته العدد k .
مرافق عدد مركب
إذا كان z = a + i b ( حيث a و b عددان حقيقيان) مرافق العدد المركب z هو العدد المركب
a + i b = عددان مركبان مترافقان صورتاهما على الترتيب متناظرتان بالنسبة إلى محور الفواصل .
طويلة و عمدة عدد مركب :
ليكن z عدد مركب غير معدوم نسمى طويلة و عمدة العدد المركب z = a + i b
العددان الحقيقيان ρ وθ المعرفان كمايلى :
هام جدا : العدد المركب المعدوم ليس له عمدة
اذا كانت النقطة M صورة العدد المركب z فان طويلة z تساوى المسافة OM وعمدة z
هى قيس الزاوية الموجهة .
الشكل المثلى والجبرى لعدد مركب ( ملف اكسل)
المسافة AB
A , B نقطتان من المستوى لاحقتهما ZA وZB على الترتيب المسافة AB هى طويلة العدد المركب
AB= |ZA-ZB| : ZB - ZA
مثلا : نريد حساب المسافة AB علما أن A و B لاحقتاهما على الترتيب 3 + i و 1- 2i
لاحقة شعاع
A , B نقطتان من المستوى لاحقتهما ZA وZB على الترتيب لاحقة الشعاع هى
العدد المركب ZB-ZA
لاحقة منتصف قطعة
لتكن A و B نقطتان من المستوى الركب لاحقتهما على الترتيب z A و z B لاحقة K
منتصف القطعة [AB] هى العدد المركب حيث :
زاوية موجهة :
لتكن A و B نقطتان من المستوى الركب لاحقتهما على الترتيب z A و z B
عمدة العدد المركب ZB-ZA تساوى قيس الزاوية :
بشكل عام اذا كان شعاعان و لاحقتهما z و' z فان :
تمرين1
فى المستوى المنسوب الى معلم متعامد ومتجانس لتكن النقطة
M0 ذات الاحقة 1 = z0
النقطة M1 ذات الاحقة ,
M2 ذات الاحقة ,
Mn+1 ذات الاحقة حيث n عدد طبيعى .
1. عين طويلة وعمدة كل من الاعداد المركبة z3 , z2 , z1 و مثل النقط M3 , M2 , M1 فى المستوى المركب
2. من اجل كل عدد طبيعى n نرمز بالرمز rn الى طويلة العدد الركب zn .
* عين طبيعة المتتالية ( rn ).
* احسب المجموع Sn = OM0 + OM1+OM2 +OM3+-------+OMn
* عين نهاية Sn لما n تنتهى الى ∞ +.
3. برهن انه من اجل كل عدد طبيعى zn+1 - zn = i zn+1 , n .
استنتج ان المثلث OMnMn+1 قائم فى Mn+1 .