الجذر التربيعي للعدد المركب

الجذر التربيعي للعدد المركب z هو العدد المركب w الذي يحقق المعادلة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ويرمز للجذر التربيعي بالرمز [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
حسب النظرية^[م] الأساسية للجبر فإن المعادلة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لها حلان (جذران) في مجموعة الأعداد المركبة. إذا كان w جذرا تربيعيا للعدد z فإن نظيره الجمعي -w جذرا تربيعيا أيضا وذلك لأن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
حقيقة 1: إذا كان z عدد مركب بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن الجذرين التربيعيين له يعطيان بالعلاقة

البرهان: افرض أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] جذر تربيعي للعدد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فالنتيجة^[م] واضحة لذلك افرض أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا
بنشر المقدار المربع^[م] ومقارنة الجزء الحقيقي والجزء التخيلي في كلا الطرفين نصل إلى أن
بتربيع المعادلة الثانية والتعويض منها في المعادلة الأولى عن[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] والترتيب نجد أن
وهذه معادلة من الدرجة الثانية في [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] تحل بقانون معادلة الدرجة الثانية وبالتالي

بما أن[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] غير سالب نهمل الإشارة السالبة لأن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا
إذا القيمة الموجبة للعدد الحقيقي x هي
اقسم المعادلة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] على 2x والتعويض عن x والضرب في مرافق الجذر الناتج.
حيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] تعني إشارة العدد b. إذا
الصورة المثلثية لجذر العدد المركب
يمكن الوصول لقانون أخر لحساب الجذر التربيعي من خلال الصورة المثلثية للعد المركب. إذا كتبنا العدد المركب z بالصورة المثلثية

حيث r هي مقياس العدد المركب و [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] سعة أو زاوية^[م] العدد المركب . من نظرية ديموافر

من هنا نستنتج وبسرعة أحد الجذور التربيعيه للعدد z وحيث الجذران متناظران جمعيا فإن

بما أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن هذا القانون يمكن كتابته بشكل آخر بدلالة العدد المركب [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] , كاتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]