نص المقال : دافع عن الأطروحة القائلة :"العقل أصل المفاهيم الرياضية "
طرح الإشكال :
إذاكانت الفكرة الشائعة حول موضوع الرياضيات أن المفاهيم الرياضية أصلها حسي و بالتالي فهي مكتسبة فإن هناك فكرة أخرى تناقضها ألا وهي العقل .إذا فكيف يمكن إثبات ذلك ؟ و ماهي الحجج التي نستند إليها في إثبات ذلك ؟
محاولة حل الإشكال :
عرض منطق الأطروحة الأولى : " العقل أصل المفاهيم الرياضية "
يرى العقليون أن أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى المبادئ الفطرية التي ولد الإنسان مزودا بها و هي سابقة عن التجربة لأن العقل بطبيعته يتوفر على مبادئ و أفكار فطرية و كل ما يصدر عن هذا العقل من أحكام و قضايا و مفاهيم تعتبر كلية و ضرورية و مطلقة و تتميز بالبداهة و الوضوح و الثبات و من ابرز دعاة هذا الرأي نجد اليوناني* أفلاطون* الذي يرى أن المفاهيم الرياضية كالخط المستقيم و الدائرة و اللانهائي و الأصغر ........ هي مفاهيم أولية نابعة من العقل و موجودة فيه قلبيا لأن العقل بحسبه كان يحيا في عالم المثل و كان على علم بسائر الحقائق و منها المعطيات الرياضية التي هي أزلية و ثابتة ، لكنه لما فارق هذا العالم نسي أفكاره و كان عليه أن يتذكرها و ان يدركها بالذهن وحده . ويرى الفيلسوف الفرنسي* ديكارت* أن المعاني الرياضية من أشكال و أعداد هي أفكار فطرية أودعها الله فينا منذ البداية و ما يلقيه الله فينا من أفكار لا يعتريه الخطأ و لما كان العقل هو اعدل قسمة بين الناس فإنهم يشتركون جميعا في العمليات العقلية حيث يقيمون عليه استنتاجاتهم و يري الفيلسوف الألماني *كانط * إن الزمان و المكان مفهومان مجردان و ليس مشتقين من الإحساسات أو مستمدين من التجربة بل هما الدعامة الأولى لكل معرفة حسية .
تدعيم الأطروحة : ومن الحجج الشخصية التي يمكن الاستناد إليها في إثبات صحة الأطروحة القائلة :"العقل أصل الفاهيم الرياضية " هو أن فعلا الطبيعة لا تقدم لنا و لا تعطينا عددا خالصا و لا خطا دون عرض و لا سطحا دون سمك وبالتالي فإن عددا كبيرا من المفاهيم الرياضية ليس لها وجود واقعي و ليس مستمد من التجربة ووجود العدد الخيالي ، الجذور ، العدد السالب ....كلها اثبتت أن العقل هو مصدر جميع معارفنا الرياضية و قد اثبت ذلك *ديكارت* من خلال البديهيات الرياضية كقولنا مثلا الكل أكبر من الجزء
عرض موقف الخصوم :"الرأي المخالف للمذهب العقلي "
يرى أنصار المذهب التجريبي أن المفاهيم الرياضية المستمدة من التجربة بأن الطبيعة هي التي أوجدت لنا الأشكال الهندسية مثال ذلك المثلث مستوحى من قمة الجبل إلى كل هذا أن العلوم جميعا بما فيها الرياضيات إنما نشأت بفعل الحاجات الإنسانية و عمل الإنسان على تيسير حياته .
نقد خصوم الاطروحة : لا يمكننا أن نسلم ان المفاهيم الرياضية هي مفاهيم تجريبية فقط لأننا لا يمكننا أن ننكر الأفكار الفطرية التي يولد الإنسان مزودا بها و إذا كانت المفاهيم الرياضية أصلها حسي محض لا شترك فيها الإنسان مع الحيوان .
حل الإشكال :
نستنتج مما سبق بأن الأطروحة القائلة العقل هو أصل المفاهيم الرياضية أطروحة صحيحة في نسقها لابد من الدفاع عنها و الأخذ بمناصريها .
نص المقال : دافع عن الأطروحة القائلة :"لا يمكن الإستغناء عن الفرضية "
طرح الإشكال :
إذا كانت الفكرة الشائعة حول خطوات المنهج التجريبي من بينها الفرضية و التي إعتبرها بعض العلماء أنها غير ضرورية خلافا للبعض الآخر الذي أكد على أهميتها في كل استدلال تجريبي .فكيف يمكن إثبات ذلك ؟ وماهي الحجج التي نستند إليها و اثبات ذلك ؟
محاولة حل الإشكال :
عرض منطق الأطروحة الأولى : "شرح موقف كلود برنار من الفرضية "
يرى بعض العلماء و على رأسهم كلود برنار بأن الفرضية ضرورية و لايمكن الإستغناء عنها لأن الملاحظة ليست كافية لتفسير الحوادث الطبيعية و تراكم الملاحظات يعتبر عملا أوليا عميقا إن لم ينتقل الباحث للخطوات الثانية التي هي الفرضية و قد أكد ذلك في قوله :"إن الفرضية هي نقطة انطلاق الضرورية لكل استدلال تجريبي " فالفرضية إذن هي استباق ذهن النتيجة و تصوير أولي لكيفية حدوث الظاهرة و لذا فهي كذلك تفسير مؤقتا ينطلق الباحث منه للقيام بإستدلال يعتمد على التجربة التي تبين صحة الفرضية أو خطئها .
الحجج الشخصية :
و من الحجج الشخصية التي يمكن أن نستند إليها في إثبات دور الفرضية في البحث التجريبي هو أن الواقع و تاريخ العلوم و من خلال الأمثلة التي وردت عند شرح طرق الأستقراء تؤكد على ضرورة الفرضية و التي تعتبر خطوة أساسية و لا غنى عنها في تطبيق المنهج التجريبي لأن جميع المعارف العلمية لا تأتي من الملاحظة الحسية وحدها بل إن قواعد الأستقراء التي أتى بها "هيل" لا تكاد تصلح إلا للتحقق من الفرضية مثلا : اكتشاف "طور شيلي " للضغط الجوي لم يكن من معطيات الحواس فقط لأن الحواس لا تبين لنا وجود الضغط الجوي ثم تحقق منها كما أن اكتشاف "نيوتن" للجاذبية لم يكن من معطيات الحس كذلك فالتفاحة التي رآها تسقط سقطت قبلها آلاف المرات و رآها الآلاف من الناس لكن "نيوتن " وضع فرضية وجود قوة تجذبها نحو الأرض و العالم الفلكي " لوفيري " لم يري كوكب نبتون بل افترض وجوده ..... وكل هذه الأمثلة لدليل على أهمية الفرضية في كل استدلال تجريبي .
عرض النقيض : " يمكن الاستغناء عن الفرضية "
حاول بعض العلماء أمثال" جون ستيوارت" و "فرانسيس بيكون " إلى إلغاء الخطوة الثانية ألا وهي الفرضية باعتبارها من نسج الخيال لا يمكن للعالم الاعتماد عليها و استبدالها بطرق الاستقراء وتتمثل هذه الطرق في طريقة التلازم في الحضور فإن شئنا تفسير حادثة ما تظهر الحوادث التي تسبق حدوثها في مرات عديدة فإذا سبق حدوثها دائما حادث معين اعتبرها اعتبرها هذا الحادث سببا لها " تجربة ويلز في ظاهرة الندى "و طريقة التلازم بالغياب و هنا أيضا ننظر الحوادث التي تسبق حدوث الواقعة فإذا لوحظ أن هناك حادثا سبق حدوثها في مرات سابقة و لما اختفت هي أيضا أعتبر ذلك الحادث سببا لها " ظاهرة التعفن عند بستار "وطريقة التغيير النبي التي تفرض أن هناك مجموعة من الحوادث تسبق الحادثة المراد دراستها و من بين هذه الحوادث السابقة توجد حادثة كلما تغيرت لازمها تغيير في الحادثة المدروسة بنفس النسبة "تجربة كلودبرنار على بول الأرانب " و طريقة البواقي و هي التي تعني وجود مجموعة من الحوادث السابقة مقدمات تليها مجموع أخرى لاحقة "نتائج " و كل حادث في المجموعة الأولى مرتبط بعلاقة سببية بحادث من المجموعة الثانية بحيث لا تبقي إلا حادثتان أحدهما من السوابق و الأخرى من اللواحق إذن نستنتج أن الأولى من المقدمات سبب الثانية من النتائج .
حل الإشكال :
نستنتج مما سبق أن الأطروحة القائلة "لايمكن الإستغناء عن الفرضية " صحيحة في نسقها لا بد من الدفاع عنها و تبيينها و الأخذ بمناصريها
نص المقال: هل أصل المفاهيم الرياضية تعود إلى العقل أم إلى التجربة؟
طرح المشكل:
منذ أن كتب أفلاطون على باب أكاديميته من لم يكن رياضيا لا يطرق بابنا. والرياضيات تحتل المكانة الأولى بين مختلف العلوم وقد ظهرت الرياضيات كعلم منذ القدم لدى اليونانيين.وهي تدرس الكم بنوعيه المتصل والمنفصل وتعتمد على مجموعة من المفاهيم .وإذا كان لكل شيء أصل .ولكل علم مصدر فما أصل الرياضيات وما مصدر مفاهيمها ؟فهل ترتد كلها إلى العقل الصرف الخالص, أم إلى مدركاتنا الحسية والى ما ينطبع في أذهاننا من صور استخلصناها من العالم الخارجي ؟ وبعبارة أخرى هل الرياضيات مستخلصة في أصلها البعيد من العقل أم من التجربة؟
محاولة حل الإشكال :
عرض الأطروحة الأولى: "أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى العقل "
يرى العقليون أن أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى المبادئ الفطرية التي ولد الإنسان مزودا بها وهي سابقة عن التجربة لان العقل بطبيعته ,يتوفر على مبادئ وأفكار فطرية .وكل ما يصدر عن هذا العقل من أحكام وقضايا ومفاهيم ,تعتبر كلية وضرورية ومطلقة وتتميز بالبداهة والوضوح والثبات ومن ابرز دعاة هذا الرأي نجد اليوناني أفلاطون الذي يرى أن المفاهيم الرياضية كالخط المستقيم والدائرة .واللانهائي والأكبر والأصغر ......هي مفاهيم أولية نابعة من العقل وموجودة فيه قبليا لان العقل بحسبه كان يحيا في عالم المثل وكان على علم بسائر الحقائق .ومنها المعطيات الرياضية التي هي أزلية وثابتة , لكنه لما فارق هذا العالم نسي أفكاره ,وكان عليه أن يتذكرها .وان يدركها بالذهن وحده . ويرى الفيلسوف الفرنسي ديكارت أن المعاني الرياضية من أشكال وأعداد هي أفكار فطرية أودعها الله فينا منذ البداية وما يلقيه الله فينا من أفكار لا يعتريه الخطأ ولما كان العقل هو اعدل قسمة بين الناس فإنهم يشتركون جميعا في العمليات العقلية حيث يقيمون عليه استنتاجاتهم ويرى الفيلسوف الألماني "كانط" إن الزمان والمكان مفهومان مجردان وليس مشتقين من الإحساسات أو مستمدين من التجربة ,بل هما الدعامة الأولى لكل معرفة حسية
نقد الأطروحة الأولى: لا يمكننا أن نتقبل أن جميع المفاهيم الرياضية هي مفاهيم عقلية لان الكثير من المفاهيم الرياضية لها ما يقابلها في عالم الحس.وتاريخ العلم يدل على أن الرياضيات وقبل أن تصبح علما عقليا ,قطعت مراحل كلها تجريبية .فالهندسة سبقت الحساب والجبر لأنها اقرب للتجربة
عرض الأطروحة الثانية:" أصل المفاهيم الرياضية هي التجربة "
يرى التجريبيون من أمثال هيوم ولوك وميل أن المفاهيم والمبادئ الرياضية مثل جميع معارفنا تنشا من التجربة ولا يمكن التسليم بأفكار فطرية عقلية لان النفس البشرية تولد صفحة بيضاء .فالواقع الحسي أو التجريبي هو المصدر اليقيني للتجربة.وان كل معرفة عقلية هي صدى لادراكاتنا الحسية عن هذا الواقع .وفي هذا السياق يقولون (لا يوجد شيء في الذهن ما لم يوجد من قبل في التجربة )ويقولون ايضا (ان القضايا الرياضية التي هي من الأفكار المركبة ,ليست سوى مدركات بسيطة هي عبارة عن تعميمات مصدرها التجربة )ويقول دافيد هيوم ( كل ما اعرفه قد استمدته من التجربة) ففكرة الدائرة جاءت من رؤية الإنسان للشمس والقرص جاءت كنتيجة مشاهدة الإنسان للقمر. والاحتمالات جاءت كنتيجة لبعض الألعاب التي كان يمارسها الإنسان الأول .وقد استعان الإنسان عبر التاريخ عند العد بالحصى وبالعيدان وبأصابع اليدين والرجلين وغيرها ,والمفاهيم الرياضية بالنسبة إلى الأطفال والبدائيين .لا تفارق مجال الإدراك الحسي لديهم ,وان ما يوجد في أذهانهم وأذهان غيرهم من معان رياضية ما هي إلا مجرد نسخ جزئية للأشياء المعطاة في التجربة الموضوعية.
نقد الأطروحة الثانية :لا يمكننا أن نسلم أن المفاهيم الرياضية هي مفاهيم تجريبية فقط لأننا لا يمكننا أن ننكر الأفكار الفطرية التي يولد الإنسان مزود بها.وإذا كانت المفاهيم الرياضية أصلها حسي محض لاشترك فيها الإنسان مع الحيوان
التركــــــــــــــــــيب :
إن أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى الترابط والتلازم الموجود بين التجربة والعقل فلا وجود لعالم مثالي للمعاني الرياضية في غياب العالم الخارجي ولا وجود للأشياء المحسوسة في غياب الوعي الإنساني .والحقيقة أن المعاني الرياضية لم تنشأ دفعة واحدة ,وان فعل التجريد أوجدته عوامل حسية وأخرى ذهنية
الخاتمة:
إن تعارض القولين لا يؤدي بالضرورة إلى رفعهما لان كلا منهما صحيح في سياقه , ويبقى أصل المفاهيم الرياضية هو ذلك التداخل والتكامل الموجود بين العقل والتجربة .ولهذا يقول العالم الرياضي السويسري غونزيث (في كل بناء تجريدي ,يوجد راسب حدسي يستحيل محوه وإزالته .وليست هناك معرفة تجريبية خالصة ,ولا معرفة عقلية خالصة.بل كل ما هناك أن أحد الجانبين العقلي والتجريبي قد يطغى على الآخر ,دون أن يلغيه تماما ويقول" هيجل" "كل ما هو عقلي واقعي وكل ما هو واقعي عقلي
نص المقال : هل الفكرة الصادقة هي الفكرة الواضحة الخالية من التناقض أم هي الفكرة الناجحة المفيدة ؟
طرح الإشكال :
إن الإنسان كائن حي فهو فضولي بطبعه يحاول الوصول إلى ما يريده و خاصة البحث عن الحقيقة التي تعني في اللغة الماهية أما عند الفلاسفة فهي مطابقة التصور او الحكم للواقع أما عند المناطقة فهي مطابقة النتائج للمقدمات أي الأمر الممكن في العقل ولا يتضمن تناقض و من هنا نصنف الحقيقة إلى صنفين حقيقة علمية نسبية و حقيقة فلسفية مطلقة و تعدد هذه الأصناف أدت إلى تنوع مقاييسها لهذا نطرح التساؤل التالي: ماهو معيار الحقيقة ؟ هل معيار الحقيقة و يعود إلى البداهة و الوضوح أم إلى المنفعة ؟
محاولة حل الإشكال :
عرض منطق الأطروحة : يرى أنصار المذهب العقلاني و على رأسهم أن معيار الحقيقة هو الوضوح و البداهة أي ان الحكم الصادق يحمل في طياته معايير صدقه و هو الوضوح و يتجلى ذلك في البديهيات الرياضية التي تبدوا واضحة و بنفس الوقت ضرورية لذاتها لهذا فالحقيقة عنده هي ما يبدوا للبداهة حق فالفكرة الصادقة هي الفكرة الواضحة للشعور يقول ديكارت : " أنا لا أقبل شيء على أنه حق ما لم يتبين لي بالبداهة أنه كذلك " و بهذه القاعدة أصبح وضوح الأفكار هو مقياس الصواب و الخطأ و هذا ما يؤكده كذلك في قوله الآخر : "لا آخذ من أحكامي إلا ما يقبله عقلي بوضوح تام " إذن فالحقيقة عند أصحاب هذا المذهب تأكد بمدى وضوحها .
النــــــــــــقد : لكن ارجاع الحقيقة إلى البداهة و الوضوح يجعلنا نلجأ إلى معيار ذاتي حيث تتدخل الميول و الرغبات و العواطف لكي نجعل الفكرة واضحة وبالتالي صحيحة و بدليل أن قضية دوران الأرض حول الشمس التي هي قضية واضحة تماما لدى خصوم "غاليلي " و لكنها فكرة خاطئة .
عرض منطق الأطروحة الثانية : يرى أصحاب المذهب البرغماتي و على رأسهم " وليام جيمس " على أن معيار الحقيقة هو المنفعة لأن الفكرة الصحيحة هي التي تؤدي بنا إلى النجاح في الحياة العملية لهذا فإن صحة الفكرة تعتمد على ما تؤدي إليه هذه الفكرة من منفعة أو نتائج عملية ناجحة في الحياة فإذا ترتب عنها نتائج مفيدة و ناجحة فهي غير حقيقية يقول "بيرس" : " إن الحق يقاس بمقياس العمل المنتج و ليس بمنطق العقل المجرد " كما يقول "وليام جيمس " : " إن كل ما يؤدي إلى النجاح فهو حقيقي و ان كل ما يعطينا أكبر قسط من الراحة و ما هو صالح لأفكارنا و مفيد لنا بأي حال من الأحوال فهو حقيقي "
إذا فالمذهب البرغماتي يرفض معيار الفكر أو العقل المجرد و تجعل من العملي المعيار النهائي لإختبار صحة أية فكرة معينة و هذا ما يؤكده كذلك "ويليام جيمس" :" إن آية الحق النجاح و آية الباطل الإخفاق فالفكرة الصادقة هي الفكرة التي تؤدي بنا إلى النجاح في الحياة العملية "
النقـــــــــــــد : صحيح أن المنفعة ضرورية في حياتنا العملية فالفكرة الناجحة ه الفكرة التي تكون لها آثار إيجابية على أرض الواقع لكن إذا ربطنا الحقيقة بالمنفعة و النجاح جعلناها مسألة شخصية لا علاقة لها بالتأمل الفلسفي الذي هو بحاجة إلى العقل المجرد لأن معيار المنفعة لا يسمح لنا بالتمييز بين الصواب و الخطأ و بالتالي فهذا المذهب هو ذاتي غير موضوعي فما يحقق لشخص منفعة قد يحقق لغيره ضرر وبالتالي فالحقيقة لا تقاس بما تحققهمن منافع بدليل آخر أن الشعوذة تحقق منافع لبعض الأفراد و لكنها لا تشكل حقيقة علمية .
التجــــاوز "التركيب " : إن مقياس الحقيقة لا يعود إلى البداهة و الوضوح و لا إلى المنفعة فقط بل إلى كليهما معا بمعنى أن معيار الصدق في الأحكام تقاس بمدى و ضوحها وبديهيتها و بما تحققه من منافع للأفراد .
حل الإشكـــــال :
إذا نستنتج مما سبق أن الفكرة الصادق هي الفكرة الواضحة الخالية من التناقض كما هي الفكرة الناجحة المفيدة لذلك
نص المقال : هل يمكن التمييز بين البديهيات و المسلمات في كل نسق رياضي ؟
طرح الإشكال :
الرياضيات هي لغة يتطلع إلى إكتسابها كل تفكيرنا شيئ و هي تدرس الكميات المجردة و العلاقات التي يمكن أن تنشأ بينها و هي علم يصل إلى نتائج يقينية إنطلاقا من مبادئ يعتمد عليها لإثبات قضايا أخرى إذن هل يمكن التمييز بين مبادئ الرياضيات في كل من الكلاسيكية و المعاصرة ؟ هل يمكن ن نميز بين البديهيات و المصادرة في كل نسق رياضي ؟
محاولة حل الإشكال :
عرض منطق الأطروحة الأولى : " يمكن التمييز بين البديهية و المصادرة في النسق الإقليدي "
تنظر الرياضيات الكلاسيكية متمثلة في هندسة "إقليدس " إلى مبادئها على انها مطلقة و ان نتائجها صادقة صدقا مطلقا .
البديهية كل ماهو واضح بذاته و مالا يقبل الجدال و النقاش و مالا يحتاج إلى برهان و حجة على وضوحه و معقوليته و تسمى كذلك بالمفاهيم المشتركة لأنها تفرض نفسها على جميع العقول حددها "إقليدس " في خمس بديهيات :
الأشياء المساوية لشيئ واحد متساوية فيما بينها
إذا أضيفت كميات متساوية إلى أخرى متساوية كانت النتائج متساوية كانت النتائج متساوية .
إذا طرحت كميات متساوية من أخرى متساوية كانت البواقي متساوية
الكل أكبر من الجزء و الأشياء المتطابقة متساوية
و تتميز البديهية عن المصادرة لكونها تدخل في تكوين نسيج العقل البشري أي أنها جزء من العقل كما أنها فطرية سابقة عن التجربة أي غير مكتسبة بالتجربة و التعلم مما يترتب عن ذلك أن رفض البديهية يوقعنا في تناقض منطقي كما تتميز كذلك أنها عامة لا تختص بعلم معين مثلا الكل أكبر من الجزء تصح في الرياضيات كما تصح في الرياضيات كما تصح في الفيزياء ....كما تتميز بأنها فارغة صوريا يمكن أن نعطيها مضامين مختلفة و أخيرا تعتبر البديهية فكرة واضحة بذاتها بحيث يكفي فهم الألفاظ و الرموز التي تعبر عنها لنفهم معناها دون الحاجة إلى برهان أو دليل بينما المسلمة هي التسليم بصحة أو صدق أو معقولية قضية رياضية ما بمعنى أن الرياضي فكرة ما كأساس للبرهان حددها "إقليدس " في خمسة مسلمات منها :
من الممكن وصل بين نقطتين بخط مستقيم ومن خصائصها أنها خاصة بمعنى أن لكل علم مسلمات خاصة به كما أن صدق المصادرات متوقف عنها وبالتالي فالمصادرة لا تمنع بالضرورة المنطقية إذ يمكن تعويضها بمصادرات أخرى
إذا نستنتج من خلال هذا التمييز بين البديهية و المصادرة قد أقر بها إقليدس
النقـــــــــــــــــد : إذا كان" إقليدس " قد ميز بين البديهية و المصادرة في نسقه الرياضي فإن تطور الرياضيات و ظهور أنساق أخرى "هندسة لا إقليدية " جعل هذا التمييز أمرا غير وارد تماما
عرض منطق الأطروحة الثانية :" ترى الرياضيات المعاصرة و على رأسها "ريمان " و "لوباتشي فيسكي " أن مبادئ الرياضية هي مجرد قضايا رياضية لبناء نسق رياضي خالي من التناقض لا غير ووجود انساق رياضية متعددة إنطلاقا من مبادئ مختلفة دليل على أن الرياضي حر في المبادئ التي يعتمد عليها في برهانه دون الإلتزام بهذه المبادئ "شرح هندسة لوباتشيفيسكي " ،"شرح هندسة ريمان "
النــقــــــــــد : إذا كان الرياضي حر في مقدمات برهانه فهذا لا يعني أنه يتعسف في إختياره بل يخضع في ذلك لشروط منطقية صارمة.
التركيب :
تطور البرهان الرياضي من إستنتاجي يعتقد في صدق مقدماته إلى فرضي إستنتاجي يفرض صدق مقدماته
حل الأشكال :
يمكن التمييز بين البديهيات و المصادرات في النسق الإقليدي و لا يمكن التميز بين البديهية و المصادرة في النسق اللاإقليدي .
طرح الإشكال :
إذاكانت الفكرة الشائعة حول موضوع الرياضيات أن المفاهيم الرياضية أصلها حسي و بالتالي فهي مكتسبة فإن هناك فكرة أخرى تناقضها ألا وهي العقل .إذا فكيف يمكن إثبات ذلك ؟ و ماهي الحجج التي نستند إليها في إثبات ذلك ؟
محاولة حل الإشكال :
عرض منطق الأطروحة الأولى : " العقل أصل المفاهيم الرياضية "
يرى العقليون أن أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى المبادئ الفطرية التي ولد الإنسان مزودا بها و هي سابقة عن التجربة لأن العقل بطبيعته يتوفر على مبادئ و أفكار فطرية و كل ما يصدر عن هذا العقل من أحكام و قضايا و مفاهيم تعتبر كلية و ضرورية و مطلقة و تتميز بالبداهة و الوضوح و الثبات و من ابرز دعاة هذا الرأي نجد اليوناني* أفلاطون* الذي يرى أن المفاهيم الرياضية كالخط المستقيم و الدائرة و اللانهائي و الأصغر ........ هي مفاهيم أولية نابعة من العقل و موجودة فيه قلبيا لأن العقل بحسبه كان يحيا في عالم المثل و كان على علم بسائر الحقائق و منها المعطيات الرياضية التي هي أزلية و ثابتة ، لكنه لما فارق هذا العالم نسي أفكاره و كان عليه أن يتذكرها و ان يدركها بالذهن وحده . ويرى الفيلسوف الفرنسي* ديكارت* أن المعاني الرياضية من أشكال و أعداد هي أفكار فطرية أودعها الله فينا منذ البداية و ما يلقيه الله فينا من أفكار لا يعتريه الخطأ و لما كان العقل هو اعدل قسمة بين الناس فإنهم يشتركون جميعا في العمليات العقلية حيث يقيمون عليه استنتاجاتهم و يري الفيلسوف الألماني *كانط * إن الزمان و المكان مفهومان مجردان و ليس مشتقين من الإحساسات أو مستمدين من التجربة بل هما الدعامة الأولى لكل معرفة حسية .
تدعيم الأطروحة : ومن الحجج الشخصية التي يمكن الاستناد إليها في إثبات صحة الأطروحة القائلة :"العقل أصل الفاهيم الرياضية " هو أن فعلا الطبيعة لا تقدم لنا و لا تعطينا عددا خالصا و لا خطا دون عرض و لا سطحا دون سمك وبالتالي فإن عددا كبيرا من المفاهيم الرياضية ليس لها وجود واقعي و ليس مستمد من التجربة ووجود العدد الخيالي ، الجذور ، العدد السالب ....كلها اثبتت أن العقل هو مصدر جميع معارفنا الرياضية و قد اثبت ذلك *ديكارت* من خلال البديهيات الرياضية كقولنا مثلا الكل أكبر من الجزء
عرض موقف الخصوم :"الرأي المخالف للمذهب العقلي "
يرى أنصار المذهب التجريبي أن المفاهيم الرياضية المستمدة من التجربة بأن الطبيعة هي التي أوجدت لنا الأشكال الهندسية مثال ذلك المثلث مستوحى من قمة الجبل إلى كل هذا أن العلوم جميعا بما فيها الرياضيات إنما نشأت بفعل الحاجات الإنسانية و عمل الإنسان على تيسير حياته .
نقد خصوم الاطروحة : لا يمكننا أن نسلم ان المفاهيم الرياضية هي مفاهيم تجريبية فقط لأننا لا يمكننا أن ننكر الأفكار الفطرية التي يولد الإنسان مزودا بها و إذا كانت المفاهيم الرياضية أصلها حسي محض لا شترك فيها الإنسان مع الحيوان .
حل الإشكال :
نستنتج مما سبق بأن الأطروحة القائلة العقل هو أصل المفاهيم الرياضية أطروحة صحيحة في نسقها لابد من الدفاع عنها و الأخذ بمناصريها .
نص المقال : دافع عن الأطروحة القائلة :"لا يمكن الإستغناء عن الفرضية "
طرح الإشكال :
إذا كانت الفكرة الشائعة حول خطوات المنهج التجريبي من بينها الفرضية و التي إعتبرها بعض العلماء أنها غير ضرورية خلافا للبعض الآخر الذي أكد على أهميتها في كل استدلال تجريبي .فكيف يمكن إثبات ذلك ؟ وماهي الحجج التي نستند إليها و اثبات ذلك ؟
محاولة حل الإشكال :
عرض منطق الأطروحة الأولى : "شرح موقف كلود برنار من الفرضية "
يرى بعض العلماء و على رأسهم كلود برنار بأن الفرضية ضرورية و لايمكن الإستغناء عنها لأن الملاحظة ليست كافية لتفسير الحوادث الطبيعية و تراكم الملاحظات يعتبر عملا أوليا عميقا إن لم ينتقل الباحث للخطوات الثانية التي هي الفرضية و قد أكد ذلك في قوله :"إن الفرضية هي نقطة انطلاق الضرورية لكل استدلال تجريبي " فالفرضية إذن هي استباق ذهن النتيجة و تصوير أولي لكيفية حدوث الظاهرة و لذا فهي كذلك تفسير مؤقتا ينطلق الباحث منه للقيام بإستدلال يعتمد على التجربة التي تبين صحة الفرضية أو خطئها .
الحجج الشخصية :
و من الحجج الشخصية التي يمكن أن نستند إليها في إثبات دور الفرضية في البحث التجريبي هو أن الواقع و تاريخ العلوم و من خلال الأمثلة التي وردت عند شرح طرق الأستقراء تؤكد على ضرورة الفرضية و التي تعتبر خطوة أساسية و لا غنى عنها في تطبيق المنهج التجريبي لأن جميع المعارف العلمية لا تأتي من الملاحظة الحسية وحدها بل إن قواعد الأستقراء التي أتى بها "هيل" لا تكاد تصلح إلا للتحقق من الفرضية مثلا : اكتشاف "طور شيلي " للضغط الجوي لم يكن من معطيات الحواس فقط لأن الحواس لا تبين لنا وجود الضغط الجوي ثم تحقق منها كما أن اكتشاف "نيوتن" للجاذبية لم يكن من معطيات الحس كذلك فالتفاحة التي رآها تسقط سقطت قبلها آلاف المرات و رآها الآلاف من الناس لكن "نيوتن " وضع فرضية وجود قوة تجذبها نحو الأرض و العالم الفلكي " لوفيري " لم يري كوكب نبتون بل افترض وجوده ..... وكل هذه الأمثلة لدليل على أهمية الفرضية في كل استدلال تجريبي .
عرض النقيض : " يمكن الاستغناء عن الفرضية "
حاول بعض العلماء أمثال" جون ستيوارت" و "فرانسيس بيكون " إلى إلغاء الخطوة الثانية ألا وهي الفرضية باعتبارها من نسج الخيال لا يمكن للعالم الاعتماد عليها و استبدالها بطرق الاستقراء وتتمثل هذه الطرق في طريقة التلازم في الحضور فإن شئنا تفسير حادثة ما تظهر الحوادث التي تسبق حدوثها في مرات عديدة فإذا سبق حدوثها دائما حادث معين اعتبرها اعتبرها هذا الحادث سببا لها " تجربة ويلز في ظاهرة الندى "و طريقة التلازم بالغياب و هنا أيضا ننظر الحوادث التي تسبق حدوث الواقعة فإذا لوحظ أن هناك حادثا سبق حدوثها في مرات سابقة و لما اختفت هي أيضا أعتبر ذلك الحادث سببا لها " ظاهرة التعفن عند بستار "وطريقة التغيير النبي التي تفرض أن هناك مجموعة من الحوادث تسبق الحادثة المراد دراستها و من بين هذه الحوادث السابقة توجد حادثة كلما تغيرت لازمها تغيير في الحادثة المدروسة بنفس النسبة "تجربة كلودبرنار على بول الأرانب " و طريقة البواقي و هي التي تعني وجود مجموعة من الحوادث السابقة مقدمات تليها مجموع أخرى لاحقة "نتائج " و كل حادث في المجموعة الأولى مرتبط بعلاقة سببية بحادث من المجموعة الثانية بحيث لا تبقي إلا حادثتان أحدهما من السوابق و الأخرى من اللواحق إذن نستنتج أن الأولى من المقدمات سبب الثانية من النتائج .
حل الإشكال :
نستنتج مما سبق أن الأطروحة القائلة "لايمكن الإستغناء عن الفرضية " صحيحة في نسقها لا بد من الدفاع عنها و تبيينها و الأخذ بمناصريها
نص المقال: هل أصل المفاهيم الرياضية تعود إلى العقل أم إلى التجربة؟
طرح المشكل:
منذ أن كتب أفلاطون على باب أكاديميته من لم يكن رياضيا لا يطرق بابنا. والرياضيات تحتل المكانة الأولى بين مختلف العلوم وقد ظهرت الرياضيات كعلم منذ القدم لدى اليونانيين.وهي تدرس الكم بنوعيه المتصل والمنفصل وتعتمد على مجموعة من المفاهيم .وإذا كان لكل شيء أصل .ولكل علم مصدر فما أصل الرياضيات وما مصدر مفاهيمها ؟فهل ترتد كلها إلى العقل الصرف الخالص, أم إلى مدركاتنا الحسية والى ما ينطبع في أذهاننا من صور استخلصناها من العالم الخارجي ؟ وبعبارة أخرى هل الرياضيات مستخلصة في أصلها البعيد من العقل أم من التجربة؟
محاولة حل الإشكال :
عرض الأطروحة الأولى: "أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى العقل "
يرى العقليون أن أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى المبادئ الفطرية التي ولد الإنسان مزودا بها وهي سابقة عن التجربة لان العقل بطبيعته ,يتوفر على مبادئ وأفكار فطرية .وكل ما يصدر عن هذا العقل من أحكام وقضايا ومفاهيم ,تعتبر كلية وضرورية ومطلقة وتتميز بالبداهة والوضوح والثبات ومن ابرز دعاة هذا الرأي نجد اليوناني أفلاطون الذي يرى أن المفاهيم الرياضية كالخط المستقيم والدائرة .واللانهائي والأكبر والأصغر ......هي مفاهيم أولية نابعة من العقل وموجودة فيه قبليا لان العقل بحسبه كان يحيا في عالم المثل وكان على علم بسائر الحقائق .ومنها المعطيات الرياضية التي هي أزلية وثابتة , لكنه لما فارق هذا العالم نسي أفكاره ,وكان عليه أن يتذكرها .وان يدركها بالذهن وحده . ويرى الفيلسوف الفرنسي ديكارت أن المعاني الرياضية من أشكال وأعداد هي أفكار فطرية أودعها الله فينا منذ البداية وما يلقيه الله فينا من أفكار لا يعتريه الخطأ ولما كان العقل هو اعدل قسمة بين الناس فإنهم يشتركون جميعا في العمليات العقلية حيث يقيمون عليه استنتاجاتهم ويرى الفيلسوف الألماني "كانط" إن الزمان والمكان مفهومان مجردان وليس مشتقين من الإحساسات أو مستمدين من التجربة ,بل هما الدعامة الأولى لكل معرفة حسية
نقد الأطروحة الأولى: لا يمكننا أن نتقبل أن جميع المفاهيم الرياضية هي مفاهيم عقلية لان الكثير من المفاهيم الرياضية لها ما يقابلها في عالم الحس.وتاريخ العلم يدل على أن الرياضيات وقبل أن تصبح علما عقليا ,قطعت مراحل كلها تجريبية .فالهندسة سبقت الحساب والجبر لأنها اقرب للتجربة
عرض الأطروحة الثانية:" أصل المفاهيم الرياضية هي التجربة "
يرى التجريبيون من أمثال هيوم ولوك وميل أن المفاهيم والمبادئ الرياضية مثل جميع معارفنا تنشا من التجربة ولا يمكن التسليم بأفكار فطرية عقلية لان النفس البشرية تولد صفحة بيضاء .فالواقع الحسي أو التجريبي هو المصدر اليقيني للتجربة.وان كل معرفة عقلية هي صدى لادراكاتنا الحسية عن هذا الواقع .وفي هذا السياق يقولون (لا يوجد شيء في الذهن ما لم يوجد من قبل في التجربة )ويقولون ايضا (ان القضايا الرياضية التي هي من الأفكار المركبة ,ليست سوى مدركات بسيطة هي عبارة عن تعميمات مصدرها التجربة )ويقول دافيد هيوم ( كل ما اعرفه قد استمدته من التجربة) ففكرة الدائرة جاءت من رؤية الإنسان للشمس والقرص جاءت كنتيجة مشاهدة الإنسان للقمر. والاحتمالات جاءت كنتيجة لبعض الألعاب التي كان يمارسها الإنسان الأول .وقد استعان الإنسان عبر التاريخ عند العد بالحصى وبالعيدان وبأصابع اليدين والرجلين وغيرها ,والمفاهيم الرياضية بالنسبة إلى الأطفال والبدائيين .لا تفارق مجال الإدراك الحسي لديهم ,وان ما يوجد في أذهانهم وأذهان غيرهم من معان رياضية ما هي إلا مجرد نسخ جزئية للأشياء المعطاة في التجربة الموضوعية.
نقد الأطروحة الثانية :لا يمكننا أن نسلم أن المفاهيم الرياضية هي مفاهيم تجريبية فقط لأننا لا يمكننا أن ننكر الأفكار الفطرية التي يولد الإنسان مزود بها.وإذا كانت المفاهيم الرياضية أصلها حسي محض لاشترك فيها الإنسان مع الحيوان
التركــــــــــــــــــيب :
إن أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى الترابط والتلازم الموجود بين التجربة والعقل فلا وجود لعالم مثالي للمعاني الرياضية في غياب العالم الخارجي ولا وجود للأشياء المحسوسة في غياب الوعي الإنساني .والحقيقة أن المعاني الرياضية لم تنشأ دفعة واحدة ,وان فعل التجريد أوجدته عوامل حسية وأخرى ذهنية
الخاتمة:
إن تعارض القولين لا يؤدي بالضرورة إلى رفعهما لان كلا منهما صحيح في سياقه , ويبقى أصل المفاهيم الرياضية هو ذلك التداخل والتكامل الموجود بين العقل والتجربة .ولهذا يقول العالم الرياضي السويسري غونزيث (في كل بناء تجريدي ,يوجد راسب حدسي يستحيل محوه وإزالته .وليست هناك معرفة تجريبية خالصة ,ولا معرفة عقلية خالصة.بل كل ما هناك أن أحد الجانبين العقلي والتجريبي قد يطغى على الآخر ,دون أن يلغيه تماما ويقول" هيجل" "كل ما هو عقلي واقعي وكل ما هو واقعي عقلي
نص المقال : هل الفكرة الصادقة هي الفكرة الواضحة الخالية من التناقض أم هي الفكرة الناجحة المفيدة ؟
طرح الإشكال :
إن الإنسان كائن حي فهو فضولي بطبعه يحاول الوصول إلى ما يريده و خاصة البحث عن الحقيقة التي تعني في اللغة الماهية أما عند الفلاسفة فهي مطابقة التصور او الحكم للواقع أما عند المناطقة فهي مطابقة النتائج للمقدمات أي الأمر الممكن في العقل ولا يتضمن تناقض و من هنا نصنف الحقيقة إلى صنفين حقيقة علمية نسبية و حقيقة فلسفية مطلقة و تعدد هذه الأصناف أدت إلى تنوع مقاييسها لهذا نطرح التساؤل التالي: ماهو معيار الحقيقة ؟ هل معيار الحقيقة و يعود إلى البداهة و الوضوح أم إلى المنفعة ؟
محاولة حل الإشكال :
عرض منطق الأطروحة : يرى أنصار المذهب العقلاني و على رأسهم أن معيار الحقيقة هو الوضوح و البداهة أي ان الحكم الصادق يحمل في طياته معايير صدقه و هو الوضوح و يتجلى ذلك في البديهيات الرياضية التي تبدوا واضحة و بنفس الوقت ضرورية لذاتها لهذا فالحقيقة عنده هي ما يبدوا للبداهة حق فالفكرة الصادقة هي الفكرة الواضحة للشعور يقول ديكارت : " أنا لا أقبل شيء على أنه حق ما لم يتبين لي بالبداهة أنه كذلك " و بهذه القاعدة أصبح وضوح الأفكار هو مقياس الصواب و الخطأ و هذا ما يؤكده كذلك في قوله الآخر : "لا آخذ من أحكامي إلا ما يقبله عقلي بوضوح تام " إذن فالحقيقة عند أصحاب هذا المذهب تأكد بمدى وضوحها .
النــــــــــــقد : لكن ارجاع الحقيقة إلى البداهة و الوضوح يجعلنا نلجأ إلى معيار ذاتي حيث تتدخل الميول و الرغبات و العواطف لكي نجعل الفكرة واضحة وبالتالي صحيحة و بدليل أن قضية دوران الأرض حول الشمس التي هي قضية واضحة تماما لدى خصوم "غاليلي " و لكنها فكرة خاطئة .
عرض منطق الأطروحة الثانية : يرى أصحاب المذهب البرغماتي و على رأسهم " وليام جيمس " على أن معيار الحقيقة هو المنفعة لأن الفكرة الصحيحة هي التي تؤدي بنا إلى النجاح في الحياة العملية لهذا فإن صحة الفكرة تعتمد على ما تؤدي إليه هذه الفكرة من منفعة أو نتائج عملية ناجحة في الحياة فإذا ترتب عنها نتائج مفيدة و ناجحة فهي غير حقيقية يقول "بيرس" : " إن الحق يقاس بمقياس العمل المنتج و ليس بمنطق العقل المجرد " كما يقول "وليام جيمس " : " إن كل ما يؤدي إلى النجاح فهو حقيقي و ان كل ما يعطينا أكبر قسط من الراحة و ما هو صالح لأفكارنا و مفيد لنا بأي حال من الأحوال فهو حقيقي "
إذا فالمذهب البرغماتي يرفض معيار الفكر أو العقل المجرد و تجعل من العملي المعيار النهائي لإختبار صحة أية فكرة معينة و هذا ما يؤكده كذلك "ويليام جيمس" :" إن آية الحق النجاح و آية الباطل الإخفاق فالفكرة الصادقة هي الفكرة التي تؤدي بنا إلى النجاح في الحياة العملية "
النقـــــــــــــد : صحيح أن المنفعة ضرورية في حياتنا العملية فالفكرة الناجحة ه الفكرة التي تكون لها آثار إيجابية على أرض الواقع لكن إذا ربطنا الحقيقة بالمنفعة و النجاح جعلناها مسألة شخصية لا علاقة لها بالتأمل الفلسفي الذي هو بحاجة إلى العقل المجرد لأن معيار المنفعة لا يسمح لنا بالتمييز بين الصواب و الخطأ و بالتالي فهذا المذهب هو ذاتي غير موضوعي فما يحقق لشخص منفعة قد يحقق لغيره ضرر وبالتالي فالحقيقة لا تقاس بما تحققهمن منافع بدليل آخر أن الشعوذة تحقق منافع لبعض الأفراد و لكنها لا تشكل حقيقة علمية .
التجــــاوز "التركيب " : إن مقياس الحقيقة لا يعود إلى البداهة و الوضوح و لا إلى المنفعة فقط بل إلى كليهما معا بمعنى أن معيار الصدق في الأحكام تقاس بمدى و ضوحها وبديهيتها و بما تحققه من منافع للأفراد .
حل الإشكـــــال :
إذا نستنتج مما سبق أن الفكرة الصادق هي الفكرة الواضحة الخالية من التناقض كما هي الفكرة الناجحة المفيدة لذلك
نص المقال : هل يمكن التمييز بين البديهيات و المسلمات في كل نسق رياضي ؟
طرح الإشكال :
الرياضيات هي لغة يتطلع إلى إكتسابها كل تفكيرنا شيئ و هي تدرس الكميات المجردة و العلاقات التي يمكن أن تنشأ بينها و هي علم يصل إلى نتائج يقينية إنطلاقا من مبادئ يعتمد عليها لإثبات قضايا أخرى إذن هل يمكن التمييز بين مبادئ الرياضيات في كل من الكلاسيكية و المعاصرة ؟ هل يمكن ن نميز بين البديهيات و المصادرة في كل نسق رياضي ؟
محاولة حل الإشكال :
عرض منطق الأطروحة الأولى : " يمكن التمييز بين البديهية و المصادرة في النسق الإقليدي "
تنظر الرياضيات الكلاسيكية متمثلة في هندسة "إقليدس " إلى مبادئها على انها مطلقة و ان نتائجها صادقة صدقا مطلقا .
البديهية كل ماهو واضح بذاته و مالا يقبل الجدال و النقاش و مالا يحتاج إلى برهان و حجة على وضوحه و معقوليته و تسمى كذلك بالمفاهيم المشتركة لأنها تفرض نفسها على جميع العقول حددها "إقليدس " في خمس بديهيات :
الأشياء المساوية لشيئ واحد متساوية فيما بينها
إذا أضيفت كميات متساوية إلى أخرى متساوية كانت النتائج متساوية كانت النتائج متساوية .
إذا طرحت كميات متساوية من أخرى متساوية كانت البواقي متساوية
الكل أكبر من الجزء و الأشياء المتطابقة متساوية
و تتميز البديهية عن المصادرة لكونها تدخل في تكوين نسيج العقل البشري أي أنها جزء من العقل كما أنها فطرية سابقة عن التجربة أي غير مكتسبة بالتجربة و التعلم مما يترتب عن ذلك أن رفض البديهية يوقعنا في تناقض منطقي كما تتميز كذلك أنها عامة لا تختص بعلم معين مثلا الكل أكبر من الجزء تصح في الرياضيات كما تصح في الرياضيات كما تصح في الفيزياء ....كما تتميز بأنها فارغة صوريا يمكن أن نعطيها مضامين مختلفة و أخيرا تعتبر البديهية فكرة واضحة بذاتها بحيث يكفي فهم الألفاظ و الرموز التي تعبر عنها لنفهم معناها دون الحاجة إلى برهان أو دليل بينما المسلمة هي التسليم بصحة أو صدق أو معقولية قضية رياضية ما بمعنى أن الرياضي فكرة ما كأساس للبرهان حددها "إقليدس " في خمسة مسلمات منها :
من الممكن وصل بين نقطتين بخط مستقيم ومن خصائصها أنها خاصة بمعنى أن لكل علم مسلمات خاصة به كما أن صدق المصادرات متوقف عنها وبالتالي فالمصادرة لا تمنع بالضرورة المنطقية إذ يمكن تعويضها بمصادرات أخرى
إذا نستنتج من خلال هذا التمييز بين البديهية و المصادرة قد أقر بها إقليدس
النقـــــــــــــــــد : إذا كان" إقليدس " قد ميز بين البديهية و المصادرة في نسقه الرياضي فإن تطور الرياضيات و ظهور أنساق أخرى "هندسة لا إقليدية " جعل هذا التمييز أمرا غير وارد تماما
عرض منطق الأطروحة الثانية :" ترى الرياضيات المعاصرة و على رأسها "ريمان " و "لوباتشي فيسكي " أن مبادئ الرياضية هي مجرد قضايا رياضية لبناء نسق رياضي خالي من التناقض لا غير ووجود انساق رياضية متعددة إنطلاقا من مبادئ مختلفة دليل على أن الرياضي حر في المبادئ التي يعتمد عليها في برهانه دون الإلتزام بهذه المبادئ "شرح هندسة لوباتشيفيسكي " ،"شرح هندسة ريمان "
النــقــــــــــد : إذا كان الرياضي حر في مقدمات برهانه فهذا لا يعني أنه يتعسف في إختياره بل يخضع في ذلك لشروط منطقية صارمة.
التركيب :
تطور البرهان الرياضي من إستنتاجي يعتقد في صدق مقدماته إلى فرضي إستنتاجي يفرض صدق مقدماته
حل الأشكال :
يمكن التمييز بين البديهيات و المصادرات في النسق الإقليدي و لا يمكن التميز بين البديهية و المصادرة في النسق اللاإقليدي .
